# QuadricsReg：基于语义二次曲面基元的大规模点云配准方法
吴季 $^{ID}$、余怀 $^{ID}$（IEEE会员）、韩舒 $^{ID}$、蔡希萌 $^{ID}$、王明峰 $^{ID}$、杨文 $^{ID}$（IEEE高级会员）以及夏贵松 $^{ID}$（IEEE高级会员）
摘要—设计高效且可扩展的场景基元表示，是大规模点云配准的基础。现有研究主要依赖密集点云或单一类型的几何基元，难以应对数据量庞大、结构多样且视角变化范围广的场景。为解决这些问题，本文提出QuadricsReg——一种面向大规模环境的、基于二次曲面基元的点云配准框架。我们通过统一的语义二次曲面公式紧凑地建模各类场景结构，在保持几何丰富性与区分性的同时实现高压缩率。该表示方法能够通过内在相似性实现高效的二次曲面匹配初始化，并通过多级图中最大化几何一致性来剔除错误的对应关系，即便在视角变化较大的情况下也能确保可靠的关联。此外，我们设计了基于退化感知的二次曲面残差的因子图来估计变换参数，从而在非均匀场景中实现精准对齐。我们在5个公开数据集上对QuadricsReg进行了评估，结果表明其具有出色的配准性能且开销极低，具备处理大规模场景的强大可扩展性。在KITTI数据集上，其每扫描帧的表示大小仅为$\sim$ 29.5KB，对于距离在10米以内的点云对，配准成功率接近100%。在自行采集的数据集上的实测结果进一步验证了其在不同激光雷达传感器和机器人平台上的鲁棒性与泛化能力。
索引词—几何基元、定位与建图、点云配准、二次曲面表示。
## 一、引言
点云配准是机器人领域的一项基础任务，也是SLAM [^1]、大规模建图 [^2] 以及自主导航 [^3] 等广泛应用的核心。通过匹配蕴含结构信息的基元表示，全局配准无需先验信息即可估算点云间的6自由度变换 [^4]、[^5]，进而在大规模环境中实现精确的自我姿态估计与连贯的地图构建。场景基元表示对配准性能起着关键作用，它直接影响后续的特征匹配与变换估计质量。然而，如图1顶部所示，点云本身具有数据量大、结构多样、视角变化范围广等特点，这些特性给大规模场景下长期机载稳定运行时的有效且可扩展的场景表示带来了巨大挑战。
直接由激光雷达生成的原始点云能够保留精细的场景细节，但在大规模场景中会带来巨大的存储和计算开销。城市环境通常具有结构规律性，这促使现有方法利用关键点[^6]、线条[^7]、平面[^8]、[^9]、圆柱体[^10]以及椭球体[^5]等几何图元来抽象场景。虽然这些图元能减少冗余，但单独使用时缺乏足够的表现力来统一表示各种结构，比如线性边缘、平面建筑和立体车辆。这不仅掩盖了对可靠匹配至关重要的场景结构显著性，还限制了RANSAC[^11]、[^12]以及GNC[^1]、[^4]等变换求解器所依赖的残差度量的适用性。此外，简单的几何模型在外观差异显著的场景中辨别能力有限，因此难以在视角变化较大的情况下从局部观测中构建一致的匹配特征。尽管现有方法在受限场景下效果显著，但它们难以统一处理多样化的结构且对视角变化敏感。这些局限性凸显了设计一种紧凑、富有表现力且具备辨别力的场景表示方法的重要性，以实现高效、精确且稳健的全局配准，并能扩展到大规模复杂环境。
基于上述原因，我们发现二次曲面能够为异质结构提供统一的表达方式（例如用椭球体表示车辆、圆柱体表示电线杆、平面表示墙壁）。作为一类参数化曲面，二次曲面不仅紧凑，而且
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Fig. 1. Global point cloud registration using QuadricsReg. The raw point clouds are collected by an UGV, a UAV, and a handheld platform equipped with different LiDAR sensors in a roof garden. In overlapping regions, QuadricsReg effectively aligns point clouds and enables cross-platform mapping with different LiDAR sensors.
与其他几何图元相比更具表现力；仅需十个参数就能描述17种常见的形状类型[^13]、[^14]。这种表达方式能够高效编码结构显著性，即便面对部分点云也能辅助重建具有辨别力的几何形态并准确测量有效残差。此外，由于二次曲面的数学表述与几何属性（类型、姿态、尺度及退化形式）紧密关联，因此既能便捷地从场景中建模二次曲面，也便于进行直观的几何分析。作为物体级特征的语义信息，其固有的辨别力不仅能强化场景结构的提取效果，还能加强数据关联能力。将二次曲面与语义线索有效结合，有望提升场景表示的紧凑性、表现力和辨别力，进而改善大规模点云配准中的特征匹配与变换估计性能。
在本文中，我们提出了一种基于语义二次曲面的全局配准框架，即QuadricsReg。该框架利用语义二次曲面实现紧凑、富有表现力且具备区分性的场景表示，在此基础上开发出鲁棒的特征匹配与顾及退化情况的变换估计方法，从而显著提升了配准性能。具体而言，针对一对点云数据，我们首先推断其语义标签，并按语义类型进行聚类以提取关键元素。对于每个聚类后的元素，我们通过对齐部分点云中的几何属性来高效建模数学二次曲面。在此基础上，我们根据语义二次曲面的类型和尺度相似性来快速初始化对应关系。为了稳健地剔除异常对应关系并容忍表示偏差，我们基于几何一致性构建多级兼容性图，通过最大团搜索来识别内点匹配。最后，利用这些匹配结果来初始化配对点云之间的6自由度变换。随后，在因子图中利用顾及退化情况的二次曲面残差对该变换进一步优化，从而得到精确的全局配准结果。图1展示了使用QuadricsReg进行的全局点云配准示例，该方法能够为现实世界的机器人实现高效且稳健的异构激光雷达建图。
本研究的贡献如下。
1) 我们提出了QuadricsReg，这是一种专为大规模场景下的高效、稳健运行而设计的系统化全局配准框架。
2) 我们引入了一种新颖的语义二次曲面模型，该模型将常见的几何基元统一为紧凑、富有表现力且具备区分性的场景表示形式。
3) 我们提出了一种鲁棒的二次曲面匹配策略，该策略利用内在的语义-几何一致性，能够在视角变化的情况下依然可靠地建立对应关系。
4) 我们在因子图优化中设计了顾及退化情况的二次曲面残差项，以确保在不同结构环境中都能准确估计变换参数。
5) 我们通过在五种公开数据集以及使用无人机（UAV）、无人地面车辆（UGV）和手持平台进行的异构实地测试中，验证了该方法卓越的鲁棒性和泛化能力。
### II. 相关工作
本节将回顾全局点云配准领域的相关工作，重点涵盖三维场景表示、三维对应关系估计与异常值剔除，以及基于对应关系的6自由度变换估计三个方面。
### A. 三维场景表示
作为基础的前端任务，三维场景表示负责对环境结构进行建模，从而为后续的后端配准提供支撑。通过以下方式得到的低级空间表示：
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点云 [^15]、[^16]、[^17]，网格 [^18]、[^19]，体素 [^20]，或表面元素 [^21] 能够提供密集的空间细节。然而，在大规模场景中，随着地图随时间不断扩展，用于配准的候选帧数量会显著增加。这种扩张会导致巨大的存储、计算和通信开销，进而限制系统的长期可扩展性。
为了提高效率，配准方法通常会优先处理关键元素（地标）而非密集数据。近期的研究[^22]、[^23]、[^24]、[^25]、[^26]通过聚类语义类别来提取关键物体或结构，从而实现场景压缩。CAD模型[^27]在抽象小规模室内场景方面展现出强大的能力。虽然线条[^28]、[^29]、平面[^30]、长方体[^31]以及椭球体[^5]、[^32]等高级基元能够捕捉基本的场景结构，但它们在异构环境中的应用却面临一个关键的权衡问题。单个基元缺乏统一表示多样化结构的表达能力，而混合模型则由于需要分别进行提取和拟合，导致复杂度增加[^33]、[^34]、[^35]。此外，仅靠几何信息往往不足以可靠地提取出显著的基元。
二次曲面提供了一种紧凑的解决方案，仅需十个参数即可表示各种几何形状[^13]、[^14]、[^36]。通过融入语义线索，我们能够优化基元提取过程，从而实现对环境的数学上简洁且几何上丰富的描述。我们的工作进一步将这些能力拓展到大规模场景，设计了针对多种基元的统一表示方法，有效平衡了紧凑性与表达力，进而提升了对齐的鲁棒性和效率。
### B. 三维对应关系的建立与异常值剔除
全局点云配准方法通常分为基于对应关系的方法和无需对应关系的方法。本研究聚焦于前者，该方法通过比较关键场景元素的描述符来建立初始匹配，随后执行稳健的剔除操作以去除异常值。
传统上，对应关系的建立依赖于局部关键点描述符。USC[^37]、SHOT[^38]、PFH[^39]以及FPFH[^40]等手工设计的方法会构建基于协方差或手工制作的特征直方图。FCGF[^41]和D3Feat[^42]等基于学习的方法则会预测关键点的显著性以提升匹配能力。然而，较大的视角差异往往会导致重叠区域有限，使得点级特征变得不一致且不可靠。这一局限性进一步推动了向更高级别表示的转变。SegMatch[^22]会在片段层面计算特征直方图，而BoxGraph[^43]则依据边界框的延展性来建立对应关系。G3Reg[^5]采用高斯模型之间的Wasserstein距离来衡量相似性。不过，在大规模场景中，几何描述符或单一类型的基元往往缺乏在较大视角变化下实现精准匹配所需的区分能力。
异常值剔除旨在消除错误的匹配结果，同时保留至少三个有效的对应关系，以防止6自由度估计出现退化现象 [^1]。RANSAC [^11]、[^12]及其变体通过迭代采样来识别解决方案，而GNC [^44]则通过鲁棒优化来抑制异常值。基于图的方法 [^45]、[^46]、[^47]、[^48]、[^49]通过几何一致性检查来筛选对应关系，并通过最大团检测来识别内点。这些图中的判定标准涵盖了从全局长度不变性 [^4] 到高斯模型描述的差异 [^25] 等多种情况。尽管这些方法具有鲁棒性，但它们仍然对一致性阈值较为敏感，而由于不确定性边界的存在，这些阈值往往难以量化。多层次策略 [^5]、[^50]通过在金字塔兼容图中评估变换来解决这一问题。
通过将二次曲面与语义信息相融合，我们的方法能够通过几何与语义的联合推理来提升特征的一致性和匹配可靠性。在初始的二次曲面匹配基础上，利用多层次兼容图来剔除异常值，同时兼顾匹配过程中的不确定性。即便在视角变化显著的情况下，这种架构也能确保配准的鲁棒性。
### C. 基于对应关系的6自由度变换估计
估计点云之间的变换是配准的最终目标。当已知对应关系且噪声呈各向同性时，存在闭形式的6自由度解 [^51]、[^52]，但要保证所有对应关系均为内点却并非易事。现有的处理不匹配情况的策略包括基于RANSAC的采样 [^11]、[^12]以及基于GNC的鲁棒优化 [^1]、[^4]、[^44]、[^53]。这些方法通常利用对应点之间的残差来评估对齐质量，从而在三個方向上约束变换参数。然而，大规模环境中常常存在缺乏明显几何特征的区域，例如以平面或圆柱面为主的区域 [^14]、[^30]、[^54]。这些结构在特定方向上会出现几何退化现象，导致约束不足，进而在使用传统的点对点度量时产生较大的对齐误差 [^55]。先前的研究通过提出点对线 [^56] 和点对平面 [^57] 残差来解决这一问题，它们能为不同配置提供具有方向性的约束。不过，现有场景表示方式的表达能力有限，难以捕捉结构的多样性。虽然平滑度分析 [^15] 等技术能够推断几何类型，但会增加算法的复杂性。
基于我们所提出的富有表现力的二次曲面表示方法，我们设计了能够感知几何退化的度量方式与优化策略。该方法在保留几何约束的同时能够适应结构退化现象，有效应对场景多样性问题，从而降低大规模环境中的配准误差。
### III. 问题阐述
### A. 问题定义
设 $\mathcal{P}_x$ 和 $\mathcal{P}_y$ 为从不同视角采集的两组部分重叠的三维激光雷达点云。全局配准的目标是估算最优刚体变换 $\mathbf{T}^* \in SE(3)$，该变换包含旋转 $\mathbf{R}^* \in SO(3)$ 和平移 $\mathbf{t}^* \in \mathbb{R}^{3 \times 1}$，从而无需初始估计即可将 $\mathcal{P}_x$ 与 $\mathcal{P}_y$ 对齐。
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Fig. 2. Pipeline of QuadricsReg, consisting of quadric-based scene representation, matching, and 6-DoF transformation estimation.
首先将点云抽象为场景表示集合 $\mathcal{R}_x = \{\mathbf{r}_x^i\}_{i=1}^{N_x}$ 和 $\mathcal{R}_y = \{\mathbf{r}_y^j\}_{j=1}^{N_y}$，这些表示编码了线条、平面或物体等元素。随后将配准问题转化为寻找最优 $\mathbf{T}^*$，使得在一组可靠的对应点 $\mathcal{I}^* \subset \mathcal{R}_x \times \mathcal{R}_y$ 上的残差总和最小化。
$$ \mathbf{T}^{*}=\underset{\mathbf{T}\in S E\left(3\right)}{\arg\min}\sum_{\left(\mathbf{r}_{x},\mathbf{r}_{y}\right)\in\mathcal{I}^{*}}\rho\left(e\left(f_{t}\left(\mathbf{r}_{x}\mid\mathbf{T}\right),\mathbf{r}_{y}\right)\right) $$
其中 $\rho(\cdot)$ 是鲁棒核函数，$e(\cdot)$ 是误差函数，而 $f_t(\cdot)$ 则表示刚体变换。
### B. 系统概述
QuadricsReg的流程如图2所示，包含三个阶段：基于二次曲面的场景表示、二次曲面匹配以及基于二次曲面的变换估算。给定一对点云 $\mathcal{P}_x$ 和 $\mathcal{P}_y$，我们首先提取显著基元并将其拟合为二次曲面，从而得到简洁的表示 $\mathcal{R}_x$ 和 $\mathcal{R}_y$。基于二次曲面的相似性度量来建立初始对应点 $\mathcal{I}$。随后应用多阈值一致性检验来构建多级兼容性图，以剔除对应点中的异常值。每个图层级中识别出最大团，从而生成内点对应候选集 $\{\mathcal{T}_1^*, \mathcal{T}_2^*, \ldots, \mathcal{T}_{K_q}^*\}$。针对每个对应候选点，利用奇异值分解（SVD）计算初始变换。随后设计一种考虑退化情况的二次曲面残差来进一步优化变换，得到变换候选集 $\mathcal{T} = \{\mathbf{T}_1, \mathbf{T}_2, \ldots, \mathbf{T}_{K_q}\}$。最终选择配准后 $\mathcal{R}_x$ 与 $\mathcal{R}_y$ 之间残差最小的变换作为最优变换 $\mathbf{T}^*$。
### IV. 方法论
### A. 二次曲面
本节介绍二次曲面作为一种能够建模多种基元类型的紧凑参数化曲面表示。我们分解其数学形式以揭示各组成部分的几何特性，说明如何推断类型、尺度和姿态等属性，最后讨论其固有的退化情况。
1) 二次曲面基础：二次曲面是一类由二阶多项式方程 $\mathbf{x}^{\mathrm{T}} \mathbf{Q} \mathbf{x} = 0$ 隐式定义的曲面，其中 $\mathbf{x} = [x, y, z, 1]^{\mathrm{T}}$ 表示齐次坐标。对称矩阵 $\mathbf{Q}$ 由系数向量 $\mathbf{q} = [A, B, C, D, E, F, G, H, I, J]$ 参数化，表达式为：
$$ \mathbf{Q}=\begin{bmatrix}\boldsymbol{A}&\boldsymbol{D}&\boldsymbol{E}&\boldsymbol{G}\\ \boldsymbol{D}&\boldsymbol{B}&\boldsymbol{F}&\boldsymbol{H}\\ \boldsymbol{E}&\boldsymbol{F}&\boldsymbol{C}&\boldsymbol{I}\\ \boldsymbol{G}&\boldsymbol{H}&\boldsymbol{I}&\boldsymbol{J}\end{bmatrix}. $$
尽管仅由十个参数定义，但这种表示能够统一建模17种几何基元，如点、线、平面、球体和圆柱体，涵盖了城市环境中的大部分结构。
2) 二次曲面分解：如图3所示，任意一般二次曲面Q均可分解为一个标准二次曲面C
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Fig. 3. Illustration of quadric derivation and degeneracy. Quadrics $Q_1$ to $Q_4$ (ellipsoid, cylinder, line, and plane) are transformed from canonical forms C via poses $P_q$. In each quadric, solid arrows denote local principal axes; dashed lines indicate scale and translation degeneracies, while dashed circular arrows highlight rotational degeneracies. For $Q_1$, rotation around axis a is degenerate due to symmetry along axes b and c.
TABLEI
CHARACTERISTICS OF TYPICAL QUADRICS; DIAG(C) DENOTES THE COEFFICIENTS OF THE CANONICAL QUADRIC; I_C FLAGS THE RANK AND TYPE OF THE QUADRIC, WHILE INDICATORS $I_s, R, t \in \{0, 1\}^3$ EXPLICITLY IDENTIFY DEGENERACY FOR SCALE, ORIENTATION, AND POSITION, RESPECTIVELY
| Type | Diag( $\mathbf{C}$) | I_{ $\mathbf{C}$} | I_{ $\mathbf{s}$} | I_{ $\mathbf{R}$} | I_{ $\mathbf{t}$} |
| Point | [ $\lambda_a$, $\lambda_b$, $\lambda_c$, 0] | [^1] [^1] [^1] [^0] | [^0] [^0] [^0] | [^0] [^0] [^0] | [^1] [^1] [^1] |
| Line | [ $\lambda_a$, $\lambda_b$, 0, 0] | [^1] [^1] [^0] [^0] | [^0] [^0] [^0] | [^0] [^0] [^1] | [^1] [^1] [^0] |
| Plane | [ $\lambda_a$, 0, 0, 0] | [^1] [^0] [^0] [^0] | [^0] [^0] [^0] | [^1] [^0] [^0] | [^1] [^0] [^0] |
| Sphere | [ $\lambda_a$, $\lambda_b$, $\lambda_c$, -1] | [1, 1, 1, -1] | [^1] [^1] [^1] | [^0] [^0] [^0] | [^1] [^1] [^1] |
| Cylinder | [ $\lambda_a$, $\lambda_b$, 0, -1] | [1, 1, 0, -1] | [^1] [^1] [^0] | [^0] [^0] [^1] | [^1] [^1] [^0] |
（与坐标轴对齐）以及姿态 $\mathbf{P}_{q}$
$$ \mathbf{Q}=\mathbf{P}_{q}^{-\mathrm{T}}\mathbf{C}\mathbf{P}_{q}^{-1}=\begin{bmatrix}\mathbf{R}_{q}&\mathbf{t}_{q}\\ \mathbf{0}^{\mathrm{T}}&1\end{bmatrix}^{-\mathrm{T}}\begin{bmatrix}\boldsymbol{\Lambda}_{q}&\mathbf{0}\\ \mathbf{0}^{\mathrm{T}}&c_{44}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\mathbf{R}_{q}&\mathbf{t}_{q}\\ \mathbf{0}^{\mathrm{T}}&1\end{bmatrix}^{-1} $$
其中 $\text{Diag}(\mathbf{C})$ 的形式决定了二次曲面的类型（见表I），而 $\text{Diag}(\boldsymbol{\Lambda}_q) = [\lambda_a, \lambda_b, \lambda_c]$ 的值则定义了尺度。进一步展开式(3)可揭示几何参数与代数系数之间的明确联系。
$$ \mathbf{Q}=\left[\begin{matrix}{\mathbf{R}_{q}\mathbf{\Lambda}_{q}\mathbf{R}_{q}^{\mathrm{T}}}&{-\mathbf{R}_{q}\mathbf{\Lambda}_{q}\mathbf{R}_{q}^{\mathrm{T}}\mathbf{t}_{q}}\\ {-\mathbf{t}_{q}^{\mathrm{T}}\mathbf{R}_{q}\mathbf{\Lambda}_{q}\mathbf{R}_{q}^{\mathrm{T}}}&{k}\\ \end{matrix}\right]\triangleq\left[\begin{matrix}{\mathbf{Q}_{33}}&{1}\\ {\mathbf{l}^{\mathrm{T}}}&{k}\\ \end{matrix}\right]. $$
基于此，我们可以从二次曲面的系数中推断出其几何属性。首先，对Q进行归一化处理以消除尺度歧义 [^13]。通过Q_{33}的频谱特征以及c_{44}的值（通过表I中的指示符I_{C} \in \{0,1,-1\}^{4}确定），即可识别其原始类型。随后，通过对Q_{33} = \dot{\mathbf{R}}_{q} \hat{\mathbf{\Lambda}}_{q} \dot{\mathbf{R}}_{q}^{\mathrm{T}}进行对角化，我们便能得出有效的尺度s_{q}、方向轴R_{q}以及中心点 $\mathbf{t}_{q}$。
$$ \begin{cases}\mathbf{s}_{q}=&\mathrm{diag}(\mathbf{I}_{\mathbf{s}})\sqrt{|\mathrm{diag}(\hat{\boldsymbol{\Lambda}}_{q})^{-1}|}\\ \mathbf{R}_{q}=&\pm\hat{\mathbf{R}}_{q}\mathrm{diag}(\mathbf{I}_{\mathbf{R}})\\ \mathbf{t}_{q}=&\mathrm{diag}(\mathbf{I}_{\mathbf{t}})\tilde{\mathbf{t}}_{q}\end{cases} $$
其中 $\mathbf{I}_{\mathbf{s},\mathbf{R},\mathbf{t}} \in \{0,1\}^3$ 是表I中用于标记退化维度的二进制指示符，这些维度表现为旋转对称性或无限延伸等特性。代数中心点 $\tilde{\mathbf{t}}_q$ 可通过求解由式(4)导出的线性系统来确定：$\mathbf{Q}_{33}\tilde{\mathbf{t}}_q + \mathbf{l} = \mathbf{0}$。$\mathbf{Q}_{33}$ 的秩决定了解空间的维度。
Fig. 4. Quadric-based representation for LiDAR scans from KITTI dataset. Street structures like the buildings and poles are modeled as planes and lines, while objects such as vehicles and trunks are treated as ellipsoids and elliptic cylinders. Vegetation is modeled with ellipsoids to enrich scene representation.
根据这一特性，可将二次曲面分为中心型（秩为3，如点、球体）、线心型（秩为2，如直线、圆柱体）以及面心型（秩为1，如平面）。
这种分解建立了可逆的代数-几何映射关系，既便于为稳健的二次曲面建模合成Q，也能提取出明确的属性以供后续配准使用。
3) 二次曲面退化：退化是指二次曲面在特定变换下保持形状不变的特性，这一性质可通过Q来分析。具体而言，秩亏的Q意味着沿某些轴的尺度退化。进一步分析 $Q_{33}$ 可揭示空间退化现象：$\hat{\Lambda}_{q}$ 中的零特征值表明沿对应轴的平移不受约束（即无限延伸），而重复的特征值则意味着存在旋转对称性，使得绕对称轴的旋转变为退化运动。图3直观地展示了这些几何行为。
二次曲面表示的一个显著优势在于能够刻画退化特性，从而让优化过程将有效的几何约束与多余的自由度分离开来。例如，在平面场景配准中，只需强制施加点到平面的残差约束，便可仅对沿表面法向的偏差进行惩罚。
### B. 基于二次曲面的场景表示
本节详细阐述了如何将密集点云 $\mathcal{P}$ 抽象为紧凑的表示形式 $\mathcal{R}$。通过提取并拟合关键的语义或几何元素，我们利用包含21个参数的二次曲面表示来建模场景，该表示能够明确编码语义、位姿、尺度和退化信息。
1) 二次曲面提取：人类对场景的感知依赖于识别几何或语义上显著的元素。这类元素通常具有稳定性、独特性且广泛存在，如图4所示。我们遵循这一原则，提取一组关键结构和关键物体，其类型可为后续的二次曲面拟合提供可靠的先验信息。
关键结构：这些元素代表了场景中主要且稳定的几何结构，主要由
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平面和线性元素构成。参照TRAVEL [^58] 和G3Reg [^5] 中的几何解析流程，我们采用默认参数配置提取三种类型的结构。
1) 地面：运用TRAVEL算法估算地面表面，从而得到称为 $\mathcal{E}_{g}$ 的主要平面区域及其对应的标签 $\mathcal{L}_{g}$。
2) 平面：剩余的云点 $\mathcal{P} \setminus \mathcal{E}_g$ 会按照 G3Reg 的平面提取流程进行解析。$\mathcal{P} \setminus \mathcal{E}_g$ 会被体素化，随后利用局部协方差统计特性对每个体素进行分析，以检测局部平面结构。具有平面特征体素会通过区域生长算法合并为连贯的平面区域，合并过程需满足法线一致性以及点到平面距离相近的约束条件。合并后的平面组成部分构成 $\mathcal{E}_p$，并被赋予标签 $\mathcal{L}_p$。
3) 直线：对于剩余的点 $\mathcal{P} \setminus (\mathcal{E}_g \cup \mathcal{E}_p)$，采用 TRAVEL 算法将其聚类为集合 $\mathcal{E}_c$。随后对 $\mathcal{E}_c$ 中的每个聚类使用基于 RANSAC 的三维直线检测器进行解析，与主要线性线段一致的聚类被识别为 $\mathcal{E}_l$，并赋予标签 $\mathcal{L}_l$。
关键物体：这些元素对应具有明显体积特征的区分性物体。语义信息对识别此类物体很有价值，但由于分割模型的泛化能力有限，其在激光雷达数据中的可靠性较低。因此，我们采用两种互补的模式来进行物体提取。
1) 基于几何的方法：当语义预测不可靠时，结构提取后剩余的无序聚类 $\mathcal{E}_c \setminus \mathcal{E}_l$ 会被视为关键物体 $\mathcal{E}_o$，并赋予相应的标签 $\mathcal{L}_o$。
2) 语义引导的方法：当场景允许可靠的语义预测时，我们应用 PVKD [^59] 来获取逐点标签 $\mathcal{L}_s$。从 $\mathcal{L}_s$ 中筛选出几何模式稳定且独特的类别，包括车辆、树干和植被。对于每个选定的类别 $s_k$，所有标签为 $\mathcal{L}_{s_k} \subseteq \mathcal{L}_s$ 的点会通过 TRAVEL 算法聚类成簇。每个簇被视为一个物体元素 $\mathbf{e}_{s_k}^i$，进而形成带有语义标签 $\mathcal{E}_{s_k} = \{\mathbf{e}_{s_k}^1, \ldots, \mathbf{e}_{s_k}^{K_o}\}$ 的 $\mathcal{L}_{s_k}$。将所有此类物体汇总便得到 $\mathcal{E}_o = \{\mathcal{E}_{s_1}, \ldots, \mathcal{E}_{s_{K_s}}\}$ 和 $\mathcal{L}_o = \{\mathcal{L}_{s_1}, \ldots, \mathcal{L}_{s_{K_s}}\}$。
通过上述流程，原始点云 $\mathcal{P}$ 被简化为元素点云 $\mathcal{E} = \{\mathbf{e}_k \mid \mathbf{e}_k \in \mathcal{E}_g, \mathcal{E}_p, \mathcal{E}_l, \mathcal{E}_o\}$，同时记录下对应的标签 $\mathcal{L}_e = \{l_k \mid l_k \in \mathcal{L}_g, \mathcal{L}_p, \mathcal{L}_l, \mathcal{L}_o\}$，以便后续进行二次曲面拟合。
2) 二次曲面拟合：在本节中，每个元素点云 $\mathbf{e} \in \mathcal{E}$ 都会被拟合为一个参数化的二次曲面 $\mathbf{Q}$。我们的目标是稳定地获得在不同视角下保持一致、可靠的二次曲面抽象表示。
如第 IV-A 节所述，直接回归 Q 的代数系数在数值上并不稳定，微小的扰动就可能导致严重的几何畸变。为解决这一问题，如图 5 所示，我们将拟合过程拆分为两个稳健的阶段：1）确定二次曲面类型；2）估计几何属性（尺度和姿态）。随后通过公式 (3) 将这两部分组合，形成最终的二次曲面 Q。
在这种分解策略的指导下，我们首先利用表 II 中的映射关系，将每种元素类型与特定的二次曲面类别关联起来。该映射起到了中间层几何约束的作用。
Fig. 5. Decomposition quadric fitting strategy for point clouds. The process is factorized into two phases: 1) determining the quadric type $\mathbf{I}_C$ and 2) estimating the geometric parameters (scale s and pose $\mathbf{P}_q$). These components are subsequently composed to stably fit the final quadric coefficient $\mathbf{Q}$.
TABLE II
MAPPING FROM ELEMENTS (GEOMETRIC AND SEMANTIC) TO QUADRICS; THIS REFLECTS COMMON ELEMENT–QUADRIC ASSOCIATIONS AND CAN BE ADAPTED OR EXTENDED FOR SPECIFIC APPLICATION SCENARIOS
| Element type | Quadric type | Justification |
| Geo. | Ground | Plane | Broad smooth surface |
| Plane | Plane | - |
| Line | Line | - |
| Unstructured cluster | Ellipsoid | Generic volumetric shape |
| Sem. | Vehicle | Ellipsoid | Convex volumetric shape |
| Trunk | Elliptic cylinder | Vertical column |
| Vegetation | Ellipsoid | Irregular volumetric mass |
| Augmented point | Point | - |
抽象表示：我们并非要详细重建物体形状，而是根据各元素的主导空间范围，将其约束为合理的二次曲面类型。如表 I 所总结，这一步直接决定了规范形式 $I_C$，通过消除拓扑歧义来有效稳定拟合过程，同时保留配准所需的几何区分性。
类型确定后，剩下的任务就是估算几何参数。然而，点云观测数据通常并不完美（即存在噪声且不完整），这会破坏跨视图的一致性。为了确保拟合结果的鲁棒性，我们采用两种互补的方法并行估算几何参数，再根据点到曲面残差度量自适应地选出最优的二次曲面：
基于学习的方法：我们利用QuadricsNet [^13] 从元素e中推断出参数 $s_l$ 和 $\mathbf{P}_l$，再将它们组合成二次曲面 $\mathbf{Q}_l$。训练时，我们将破碎且含噪的点云作为输入，以二次曲面系数为监督信号。即便由于视角变化导致观测数据存在噪声或不完整，该网络仍能恢复出可靠的形状。
基于统计的方法：为了补充学习模型并确保在分布偏移情况下仍能得到有效的几何结果，我们额外计算了基于统计的估计值。
1) 中心化：$\mathbf{e}_c = \mathbf{e} - \mathbf{t}_s$，其中 $\mathbf{t}_s = \frac{1}{|\mathbf{e}|} \sum_{\mathbf{x} \in \mathbf{e}} \mathbf{x}$ 为二次曲面的中心点。
2) 特征值分解：我们利用协方差矩阵来捕捉点的空间分布情况：
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| Structure 1: Quadric Representation of Element |
| $1: l \in \mathbb{N}_{1 \times 1}$; % Semantic label or quadric type |
| $2: \mathbf{q} \in \mathbb{R}_{1 \times 10}$; % Quadric parameters |
| $3: \mathbf{s}_{f} \in \mathbb{R}_{1 \times 3}^{+}$; % Full scale |
| $4: \mathbf{\eta}_{f} \in \mathbb{R}_{1 \times 4}$; % Full rotation in quaternion form |
| $5: \mathbf{t}_{f} \in \mathbb{R}_{1 \times 3}$; % Full center |
$\frac{1}{|\mathbf{e}|}\mathbf{e}_{c}^{\mathrm{T}}\mathbf{e}_{c}=\mathbf{R}_{s}\boldsymbol{\Lambda}_{s}\mathbf{R}_{s}^{\mathrm{T}}$。此处，$\mathbf{R}_{s}$ 与主要几何轴对齐，而 $\boldsymbol{\sigma}_{s}=\sqrt{\mathrm{diag}(\boldsymbol{\Lambda}_{s})}$ 则用于量化沿这些轴的扩散程度。
3) 二次曲面构建：空间尺度可近似为 $\mathbf{s}_s = k_s \boldsymbol{\sigma}_s$，其中 $k_s \approx 1.6$ 用于对标准差进行缩放，以覆盖大部分点。将 $\mathbf{S}_s = \text{diag}([\mathbf{s}_s, 1])$ 记为尺度矩阵，便可计算出标准矩阵 $\mathbf{C}_s$ 和位姿矩阵 $\mathbf{P}_s$：
$$ \mathbf{C}_{s}=\mathbf{S}_{s}^{-\mathrm{T}}\mathrm{diag}(\mathbf{I}_{\mathbf{C}})\mathbf{S}_{s}^{-1},\quad\mathbf{P}_{s}=\begin{bmatrix}\mathbf{R}_{s}&\mathbf{t}_{s}\\ \mathbf{0}^{\mathrm{T}}&1\end{bmatrix} $$
其中 $\mathbf{I}_{\mathbf{C}}$ 表示由二次曲面类型 $\mathbf{C}_{s}$ 决定的 $l_{q}$ 的形式。随后，即可形成二次曲面参数 $\mathbf{Q} = \mathbf{P}_{s}^{-\mathrm{T}}\mathbf{C}_{s}\mathbf{P}_{s}^{-1}$。
我们利用点到曲面残差 [^60] 来评估拟合得到的二次曲面Q与点集e之间的一致性。
$$ f_{p2s}(\mathbf{e},\mathbf{Q})=\frac{1}{|\mathbf{e}|}\sum_{\mathbf{x}\in\check{\mathbf{e}}}\frac{\|\mathbf{x}^{\top}\check{\mathbf{Q}}\mathbf{x}\|}{\|\nabla_{\mathbf{x}}(\mathbf{x}^{\top}\check{\mathbf{Q}}\mathbf{x})\|} $$
$$ \nabla_{x} $$
$$ \mathbf{Q}=\underset{\mathbf{Q}^{\prime}\in\{\mathbf{Q}_{l},\mathbf{Q}_{s}\}}{\arg\min}\ f_{p2s}(\mathbf{e},\mathbf{Q}^{\prime}). $$
这种选择机制能确保每个元素都能获得稳定可靠的二次曲面拟合结果。两种拟合过程各司其职：基于学习的方法对含噪及部分缺失的观测数据具有鲁棒性，而基于统计的估计器则能在分布外情况下保证有效的几何拟合。后者还能提供非退化的尺度 $s_s$ 和位姿 $\mathbf{P}_s$，这些后续会在二次曲面建模阶段被进一步利用。
3) 二次曲面建模：在本节中，我们会基于提取和拟合结果，用简洁的二次曲面表示法 $\mathcal{P}$ 来对点云 $\mathcal{R} = \{r_1, r_2, \ldots, r_N\}$ 进行建模。我们的目标是创建一种既能高效支持全局配准、又能最小化场景描述的表达方式。
每种二次曲面表示$\mathbf{r} \in \mathcal{R}$都在结构1中有详细说明，仅包含21个参数。在这种表示中，语义标签l用于在配准过程中约束搜索空间。代数系数$\mathbf{q}$可生成对视角变化具有鲁棒性的几何属性（$\hat{\mathbf{s}}_q$、$\hat{\mathbf{R}}_q$、$\hat{\mathbf{t}}_q$），同时还能推断出用于标记退化维度的指示符$\mathbf{I}_{\mathbf{s}, \mathbf{R}, \mathbf{t}}$。虽然在变换优化过程中这些退化维度会被分离，但它们能为对应关系建立和变换初始化提供重要线索。因此，统计尺度$\mathbf{s}_s$和姿态$\mathbf{P}_s(\mathbf{R}_s, \mathbf{t}_s)$被用作补充信息，以恢复完整的属性。
$$ \begin{cases}\mathbf{s}_{f}=&\operatorname{diag}(\mathbf{I}_{\mathbf{s}})\hat{\mathbf{s}}_{q}+\operatorname{diag}(\mathbf{1}-\mathbf{I}_{\mathbf{s}})\mathbf{s}_{s}\\\mathbf{R}_{f}=&\hat{\mathbf{R}}_{q}\operatorname{diag}(\mathbf{I}_{\mathbf{R}})+\mathbf{R}_{s}\operatorname{diag}(\mathbf{1}-\mathbf{I}_{\mathbf{R}})\\\mathbf{t}_{f}=&\operatorname{diag}(\mathbf{I}_{\mathbf{t}}^{\prime})\hat{\mathbf{t}}_{q}+\operatorname{diag}(\mathbf{1}-\mathbf{I}_{\mathbf{t}}^{\prime})\mathbf{t}_{s}\end{cases} $$
其中$1 - I$表示$\mathbf{I}$的否定。若$\mathbf{I}'_t$表明存在退化现象（即并非全为1），则$0$会被设为$\mathbf{I}_t$。在结构1中，旋转$\mathbf{R}_f$被简化为四元数形式。为了进一步确保表示的紧凑性，我们在$K_e$中仅为每种语义类型保留前$\mathcal{R}$个二次曲面。我们优先选择较大的二次曲面，因为它们通常更具辨识度；其大小通过$\mathbf{s}_f$的前n个分量的乘积来衡量（其中$n \in \{1, 2, 3\}$分别对应线、平面和体积）。
全局点云配准需要足够的可靠对应关系和几何约束，才能实现稳定的$SE(3)$估计。具体而言，使用基于位置的求解器（如SVD）进行变换初始化时，数学上要求至少有三对非共线的匹配对。然而，如图4所示，复杂场景（如狭长的道路或走廊）往往由稀疏且退化的元素主导。这种稀疏性限制了可用匹配对的数量，而几何退化又无法为变换估计提供足够的约束。此外，对这些大型元素的部分观测会导致依赖视角的拟合不稳定性，进而阻碍可靠的数据关联。因此，在此类场景中，将每个元素表示为单个二次曲面是不够的。
为解决这一问题，当$|\mathcal{R}| < \delta_a$时，我们对每个语义类别中最大的$v_a$个元素应用体素下采样（体素大小为$K_a$），并将生成的体素中心作为增广点。根据表II，这些点被视为点型二次曲面，仅保留其中心坐标，其余几何属性均标记为退化。这样它们就能无缝地添加到$\mathcal{R}$中，成为$\mathbf{r}_a$，从而在稀疏场景中为二次曲面匹配提供辅助几何约束。
最终场景由紧凑的表示$\mathcal{R} \in \mathbb{R}^{N \times 21}$来建模。元素数量严格受限于$N \leq M_l \times K_e + N^a$，涵盖$M_l$种语义类型和$N^a$个增广点。这种抽象实现了极大的数据压缩：典型的KITTI扫描（含$\approx 120k$个点）可被缩减为仅$N \approx 100$个二次曲面，其内存占用仅相当于约700个点。因此，$\mathcal{R}$提供了一种既简洁又具备丰富几何表达能力的描述方式，能够以轻量化的格式编码语义、姿态、尺度和退化信息。
### C. 二次曲面匹配
给定源表示和目标表示$\mathcal{R}_x$与$\mathcal{R}_y$，我们的目标是在这两类二次曲面之间建立对应关系$\mathcal{I}^*$。如图6所示，我们的策略分为两个阶段：首先基于每种语义类型内的几何相似性来确定初步的对应关系，随后利用多级图基剪枝算法提取可靠的内点。
1) 二次曲面对应关系初始化：为了获得数量适中且易于处理的初步对应集合，我们仅在同一语义类别内匹配二次曲面，并进一步借助几何相似性度量对其进行筛选。
---
Fig. 6. Quadric matching using multilevel compatibility graphs. Putative correspondences $m_k \in \mathcal{L}$ link source and target quadrics within shared semantics, comprising valid inliers (cyan, $m_{1,2,3,5}$) and an outlier (red, $m_4$). The grey pentagon arranges these matches as vertices of a compatibility graph, where edges are defined by pairwise consistency checks. Progressively relaxing the consistency threshold $\delta_m$ yields varying maximum cliques (colored polygons): The strict threshold-derived clique $C_1^{Max}$ successfully rejects outlier $m_4$ resulting in sparse correspondences, whereas the loose $C_3^{Max}$ retains more matches but includes the outlier.
对于源$\mathcal{R}_x$与目标$\mathcal{R}_y$共有的每个语义标签，我们依据其完整尺度$\mathbf{s}_f$来比较二次曲面，具体公式为：
$$ \mathbf{\boldsymbol{f}}_{q s q}(\mathbf{r}_{x},\mathbf{r}_{y})=-\left\|\mathbf{d i a g}(\mathbf{I_{s}})(\mathbf{s}_{f,x}-\mathbf{s}_{f,y})\right\|_{2} $$
其中下标$x/y$表示场景域，$\mathbf{I}_s$用于标记退化的维度。对于每个二次曲面，我们保留其在不同场景中相似度最高的前$K_s$个配对对象，从而生成一组语义一致的初始对应关系。所有语义类别对应的关系合并后便构成了初步的对应关系集合$\mathcal{I}$。对于增强点二次曲面，则利用FPFH相似性[^40]并结合语义过滤来建立对应关系，这些匹配结果同样会被纳入$\mathcal{I}$中。
$\mathcal{I}$中所包含的对应关系数量被严格限制在$K_e \times K_s \times |\mathcal{L}_{\cap}| + N_n^a$以内，此处$N_n^a \leq \min(N_x^a, N_y^a)$和$|\mathcal{L}_{\cap}|$分别表示共享的语义类别数量。相比之下，采用全配对策略时的上限则为$|\mathcal{R}_x| \times |\mathcal{R}_y| = (K_e \times |\mathcal{L}_x| + N_x^a) \times (K_e \times |\mathcal{L}_y| + N_y^a)$。这种明确的对比表明，通过几何相似性在语义类型内部进行匹配，不仅能大幅缩小搜索空间，还能确保高概率的配对关系被包含在内。
2) 基于图的异常点剪枝：初步得到的对应关系集合$\mathcal{I}$中难免会包含异常点。我们针对这些对应关系构建兼容性图，并通过最大团推理来稳健地识别出内点。
在构建该图时，我们基于平移和旋转不变性度量来评估配对间的几何一致性[^4]。考虑对应关系对$(\mathbf{r}_x^i, \mathbf{r}_y^i)$和$(\mathbf{r}_x^j, \mathbf{r}_y^j)$，其中下标表示所属域，上标$(i, j)$代表配对序号。以二次曲面的中心$\mathbf{t}_f$作为位置代理，若这对二次曲面的相对距离变化处于容许范围$\delta_m$之内，则判定它们是一致的。
$$ d_{i,j}=|\|\mathbf{t}_{f,x}^{i}-\mathbf{t}_{f,x}^{j}\|_{2}-\|\mathbf{t}_{f,y}^{i}-\mathbf{t}_{f,y}^{j}\|_{2}|\leq\delta_{m}. $$
这一约束条件指导了兼容性图的构建：图中的顶点代表各种对应关系，而边则连接那些彼此一致的对。
理想情况下，刚性变换会保持相对距离 $(d_{i,j}=0)$ 不变。然而在实际中，为了容纳由位置偏差导致的非零残差，必须设定一个容差 $\delta_m$。在关键点匹配中，这种偏差主要由传感器噪声引起，且在整个场景中大致均匀分布，因此采用单一的全局阈值即可。相比之下，在元素级的二次曲面匹配中，偏差源于中心点估计的不稳定性，且表现出异质性的不确定性。紧凑型图元（例如建模为椭球体的车辆）能生成约束良好的中心点，而扩展型图元（例如建模为平面的墙壁）在部分观测下更容易沿其无约束轴发生偏移。这种差异会引发冲突：较小的 $\delta_m$ 会排除扩展元素的有效匹配，而较大的 $\delta_m$ 则无法过滤掉紧凑物体中的异常值。因此，没有单一的全局阈值能够适用于所有情况。
如图6所示，我们采用了多级阈值策略。我们利用逐步放松的阈值 $\{g_1, g_2, \ldots, g_{K_g}\}$ 构建一系列图结构 $\delta_m^1 < \delta_m^2 < \ldots < \delta_m^{K_g}$，上标表示层级。在每个层级，我们运用分级策略从并行最大团算法中提取最大团 $\mathcal{C}_{k_g}^{Max}$ [^61]。具体而言，在层级 $k_g$ 确定的团大小会被作为严格的下限，用于初始化层级 $k_g + 1$ 的搜索过程。这种分层方案首先保留严格层级中捕获的高精度约束，然后在宽松层级中逐步恢复有效但含噪的匹配结果，从而缩小搜索空间。最终，所得团结构的并集 $\{\mathcal{T}_1^*, \mathcal{T}_2^*, \ldots, \mathcal{T}_{K_g}^*\}$ 便构成了用于后续变换估计的稳健内点集。
### D. 基于二次曲面的6自由度变换估计
本节详细阐述将 $\mathbf{T}^* \in SE(3)$ 对齐到 $\mathcal{R}_x$ 的最优变换 $\mathcal{R}_y$ 的估计过程。具体来说，我们首先利用内点中心的SVD分解来初始化位姿，随后通过考虑简并情况的因子图对其进行优化。这种建模方式整合了多种几何约束，以稳健地处理结构简并问题，最终解是通过最小化全局对齐残差来确定的。
1) 变换候选估计：对于 $\mathcal{I}_{k_g}^*$ 中的每个对应候选集 $\{\mathcal{I}_1^*, \mathcal{I}_2^*, \ldots, \mathcal{I}_{K_g}^*\}$，我们的目标是仅依据 $\hat{\mathbf{T}}_{k_g}$ 和 $\mathcal{R}_x$ 来估计配对点云之间的变换 $\mathcal{R}_y$。我们首先基于 $\mathcal{I}_{k_g}^*$ 用SVD直接估算初始变换，随后通过因子图优化来进一步细化该变换。
变换初始化：根据对应点对 $\{(\mathbf{r}_x, \mathbf{r}_y) \in \mathcal{R}_x \times \mathcal{R}_y \mid \text{associated in } \mathcal{I}_{k_g}^*\}$，我们首先通过对相应二次曲面的全部中心点 $\mathbf{T}_{k_g}^0$ 应用SVD来估算初始变换 $\mathbf{t}_f$。以 $\mathbf{T}_{k_g}^0$ 为起点，我们可以构建非线性因子图来细化变换 $\mathbf{T}_{k_a}(\mathbf{R}_{k_a}, \mathbf{t}_{k_a})$。
地面对齐滤波：在添加因子之前，我们会排除 $R_x$ 和 $R_y$ 中那些结构为二次曲面（平面和直线）的元素 r。
---
```pseudo
// Algorithm 1: Quadric-based Trans. Estimation
```
1 输入：源点云和目标点云的二次曲面表示 $\mathcal{R}_x$ 和 $\mathcal{R}_y$，以及内点对应候选集 $\{\mathcal{I}_1^*, \mathcal{I}_2^*, \ldots, \mathcal{I}_{K_g}^*\}$
2 输出：最优变换 $\mathbf{T}^*(\mathbf{R}^*, \mathbf{t}^*)$
3 % 变换候选估计
4. 初始化变换候选集：$\mathcal{T} = \emptyset$
5. 对于 $\mathcal{I}_{k_g}^*$ 属于 $\{\mathcal{I}_1^*, \mathcal{I}_2^*, \ldots, \mathcal{I}_{K_g}^*\}$ 的情况，执行以下操作：
6 $\left|\begin{array}{c} \mathbf{T}_{k_g}^0 = \text{SVD}(\mathcal{R}_x, \mathcal{R}_y, \mathcal{I}_{k_g}^*) \\ \text{Initialize factor graph: } \mathcal{F}_{k_g} \text{, initial}(\mathbf{T}_{k_g}^0) \\ \text{for } (\mathbf{r}_x, \mathbf{r}_y) \text{ in } \mathcal{I}^*\text{ do} \end{array}\right.$
7 $\left|\begin{array}{c} \text{if } f_{pp}(\mathbf{r}_x) \text{ or } f_{pp}(\mathbf{r}_y) \text{ then } \end{array}\right.$
8 $\left|\begin{array}{c} \text{continue} \\ \text{Supplement}(\mathbf{r}_x, \mathbf{r}_y) \\ \text{Quadric residual: } \mathbf{e} = [\mathbf{e}_R, \mathbf{e}_t]^\text{T} \\ \text{Jacobian: } \mathbf{J} = \left[\frac{\partial \mathbf{e}_R}{\partial \mathbf{R}}, \frac{\partial \mathbf{e}_t}{\partial \mathbf{t}}, \frac{\partial \mathbf{e}_t}{\partial \mathbf{R}}, \frac{\partial \mathbf{e}_t}{\partial \mathbf{t}}\right] \\ \mathcal{F}_{k_g} \text{, add Factor}(\mathbf{e}, \mathbf{J}) \end{array}\right.$
9 $\left|\begin{array}{c} \text{if } f_{pp}(\mathbf{r}_x) \text{ then } \end{array}\right.$
10 $\left|\begin{array}{c} \text{continue} \\ \text{Supplement}(\mathbf{r}_x, \mathbf{r}_y) \\ \text{Quadric residual: } \mathbf{e} = [\mathbf{e}_R, \mathbf{e}_t]^\text{T} \\ \text{Jacobian: } \mathbf{J} = \left[\frac{\partial \mathbf{e}_R}{\partial \mathbf{R}}, \frac{\partial \mathbf{e}_t}{\partial \mathbf{t}}, \frac{\partial \mathbf{e}_t}{\partial \mathbf{R}}, \frac{\partial \mathbf{e}_t}{\partial \mathbf{t}}\right] \\ \mathcal{F}_{k_g} \text{, add Factor}(\mathbf{e}, \mathbf{J}) \end{array}\right.$
11 $\left|\begin{array}{c} \text{if } f_{pp}(\mathbf{r}_x) \text{ then } \end{array}\right.$
12 $\left|\begin{array}{c} \text{if } f_{pp}(\mathbf{r}_x) \text{ then } \end{array}\right.$
13 $\left|\begin{array}{c} \text{if } f_{pp}(\mathbf{r}_x) \text{ then } \end{array}\right.$
14 $\left|\begin{array}{c} \text{if } f_{pp}(\mathbf{r}_x) \text{ then } \end{array}\right.$
15 $\left|\begin{array}{c} \text{if } f_{pp}(\mathbf{r}_x) \text{ then } \end{array}\right.$
16 $\left|\begin{array}{c} \text{if } f_{pp}(\mathbf{r}_x) \text{ then } \end{array}\right.$
17 $\left|\begin{array}{c} \text{if } f_{pp}(\mathbf{r}_x) \text{ then } \end{array}\right.$
18 $\left|\begin{array}{c} \text{if } f_{pp}(\mathbf{r}_x) \text{ then } \end{array}\right.$
19 $\left|\begin{array}{c} \text{if } f_{pp}(\mathbf{r}_x) \text{ then } \end{array}\right.$
20 $\left|\begin{array}{c} \mathcal{I}_{snn} = \text{SNN}(f_t(\mathcal{R}_x | \mathbf{T}_{k_g}), \mathcal{R}_y) \\ d_v = \emptyset \end{array}\right.$
21 $\left|\begin{array}{c} \text{if } f_{pp}(\mathbf{r}_x) \text{ then } \end{array}\right.$
22 $\left|\begin{array}{c} \text{if } f_{pp}(\mathbf{r}_x) \text{ then } \end{array}\right.$
23 $\left|\begin{array}{c} \text{if } f_{pp}(\mathbf{r}_x) \text{ then } \end{array}\right.$
24 $\left|\begin{array}{c} \text{if } f_{pp}(\mathbf{r}_x) \text{ then } \end{array}\right.$
25 $\left|\begin{array}{c} \text{if } f_{pp}(\mathbf{r}_x) \text{ then } \end{array}\right.$
26 $\left|\begin{array}{c} \text{if } f_{pp}(\mathbf{r}_x) \text{ then } \end{array}\right.$
27 $\left|\begin{array}{c} \text{if } f_{pp}(\mathbf{r}_x) \text{ then } \end{array}\right.$
28 $\left|\begin{array}{c} \text{if } f_{pp}(\mathbf{r}_x) \text{ then } \end{array}\right.$
29 $\left|\begin{array}{c} \text{if } f_{pp}(\mathbf{r}_x) \text{ then } \end{array}\right.$
30 $\left|\begin{array}{c} \text{if } f_{pp}(\mathbf{r}_x) \text{ then } \end{array}\right.$
31 $\left|\begin{array}{c} \text{if } f_{pp}(\mathbf{r}_x) \text{ then } \end{array}\right.$
32 $\left|\begin{array}{c} \text{if } f_{pp}(\mathbf{r}_x) \text{ then } \end{array}\right.$
33 $\left|\begin{array}{c} \text{if } f_{pp}(\mathbf{r}_x) \text{ then } \end{array}\right.$
34 $\left|\begin{array}{c} \text{if } f_{pp}(\mathbf{r}_x) \text{ then } \end{array}\right.$
35 $\left|\begin{array}{c} \text{if } f_{pp}(\mathbf{r}_x) \text{ then } \end{array}\right.$
36 $\left|\begin{array}{c} \text{if } f_{pp}(\mathbf{r}_x) \text{ then } \end{array}\right.$
37 $\left|\begin{array}{c} \text{if } f_{pp}(\mathbf{r}_x) \text{ then } \end{array}\right.$
38 $\left|\begin{array}{c} \text{if } f_{pp}(\mathbf{r}_x) \text{ then } \end{array}\right.$
39 $\left|\begin{array}{c} \text{if } f_{pp}(\mathbf{r}_x) \text{ then } \end{array}\right.$
40 $\left|\begin{array}{c} \text{if } f_{pp}(\mathbf{r}_x) \text{ then } \end{array}\right.$
41 $\left|\begin{array}{c} \text{if } f_{pp}(\mathbf{r}_x) \text{ then } \end{array}\right.$
42 $\left|\begin{array}{c} \text{if } f_{pp}(\mathbf{r}_x) \text{ then } \end{array}\right.$
43 $\left|\begin{array}{c} \text{if } f_{pp}(\mathbf{r}_x) \text{ then } \end{array}\right.$
44 $\left|\begin{array}{c} \text{if } f_{pp}(\mathbf{r}_x) \text{ then } \end{array}\right.$
45 $\left|\begin{array}{c} \text{if } f_{pp}(\mathbf{r}_x) \text{ then } \end{array}\right.$
46 $\left|\begin{array}{c} \text{if } f_{pp}(\mathbf{r}_x) \text{ then } \end{array}\right.$
47 $\left|\begin{array}{c} \text{if } f_{pp}(\mathbf{r}_x) \text{ then } \end{array}\right.$
48 $\left|\begin{array}{c} \text{if } f_{pp}(\mathbf{r}_x) \text{ then } \end{array}\right.$
49 $\left|\begin{array}{c} \text{if } f_{pp}(\mathbf{r}_x) \text{ then } \end{array}\right.$
50 $\left|\begin{array}{c} \text{if } f_{pp}(\mathbf{r}_x) \text{ then } \end{array}\right.$
51 $\left|\begin{array}{c} \text{if } f_{pp}(\mathbf{r}_x) \text{ then } \end{array}\right.$
52 $\left|\begin{array}{c} \text{if } f_{pp}(\mathbf{r}_x) \text{ then } \end{array}\right.$
53 $\left|\begin{array}{c} \text{if } f_{pp}(\mathbf{r}_x) \text{ then } \end{array}\right.$
54 $\left|\begin{array}{c} \text{if } f_{pp}(\mathbf{r}_x) \text{ then } \end{array}\right.$
55 $\left|\begin{array}{c} \text{if } f_{pp}(\mathbf{r}_x) \text{ then } \end{array}\right.$
56 $\left|\begin{array}{c} \text{if } f_{pp}(\mathbf{r}_x) \text{ then } \end{array}\right.$
57 $\left|\begin{array}{c} \text{if } f_{pp}(\mathbf{r}_x) \text{ then } \end{array}\right.$
58 $\left|\begin{array}{c} \text{if } f_{pp}(\mathbf{r}_x) \text{ then } \end{array}\right.$
59 $\left|\begin{array}{c} \text{if } f_{pp}(\mathbf{r}_x) \text{ then } \end{array}\right.$
60 $\left|\begin{array}{c} \text{if } f_{pp}(\mathbf{r}_x) \text{ then } \end{array}\right.$
61 $\left|\begin{array}{c} \text{if } f_{pp}(\mathbf{r}_x) \text{ then } \end{array}\right.$
62 $\left|\begin{array}{c} \text{if } f_{pp}(\mathbf{r}_x) \text{ then } \end{array}\right.$
63 $\left|\begin{array}{c} \text{if } f_{pp}(\mathbf{r}_x) \text{ then } \end{array}\right.$
64 $\left|\begin{array}{c} \text{if } f_{pp}(\mathbf{r}_x) \text{ then } \end{array}\right.$
65 $\left|\begin{array}{c} \text{if } f_{pp}(\mathbf{r}_x) \text{ then } \end{array}\right.$
66 $\left|\begin{array}{c} \text{if } f_{pp}(\mathbf{r}_x) \text{ then } \end{array}\right.$
67 $\left|\begin{array}{c} \text{if } f_{pp}(\mathbf{r}_x) \text{ then } \end{array}\right.$
68 $\left|\begin{array}{c} \text{if } f_{pp}(\mathbf{r}_x) \text{ then } \end{array}\right.$
69 $\left|\begin{array}{c} \text{if } f_{pp}(\mathbf{r}_x) \text{ then } \end{array}\right.$
70 $\left|\begin{array}{c} \text{if } f_{pp}(\mathbf{r}_x) \text{ then } \end{array}\right.$
71 $\left|\begin{array}{c} \text{if } f_{pp}(\mathbf{r}_x) \text{ then } \end{array}\right.$
72 $\left|\begin{array}{c} \text{if } f_{pp}(\mathbf{r}_x) \text{ then } \end{array}\right.$
73 $\left|\begin{array}{c} \text{if } f_{pp}(\mathbf{r}_x) \text{ then } \end{array}\right.$
74 $\left|\begin{array}{c} \text{if } f_{pp}(\mathbf{r}_x) \text{ then } \end{array}\right.$
75 $\left|\begin{array}{c} \text{if } f_{pp}(\mathbf{r}_x) \text{ then } \end{array}\right.$
76 $\left|\begin{array}{c} \text{if } f_{pp}(\mathbf{r}_x) \text{ then } \end{array}\right.$
77 $\left|\begin{array}{c} \text{if } f_{pp}(\mathbf{r}_x) \text{ then } \end{array}\right.$
78 $\left|\begin{array}{c} \text{if } f_{pp}(\mathbf{r}_x) \text{ then } \end{array}\right.$
79 $\left|\begin{array}{c} \text{if } f_{pp}(\mathbf{r}_x) \text{ then } \end{array}\right.$
80 $\left|\begin{array}{c} \text{if } f_{pp}(\mathbf{r}_x) \text{ then } \end{array}\right.$
81 $\left|\begin{array}{c} \text{if } f_{pp}(\mathbf{r}_x) \text{ then } \end{array}\right.$
82 $\left|\begin{array}{c} \text{if } f_{pp}(\mathbf{r}_x) \text{ then } \end{array}\right.$
83 $\left|\begin{array}{c} \text{if } f_{pp}(\mathbf{r}_x) \text{ then } \end{array}\right.$
84 $\left|\begin{array}{c} \text{if } f_{pp}(\mathbf{r}_x) \text{ then } \end{array}\right.$
85 $\left|\begin{array}{c} \text{if } f_{pp}(\mathbf{r}_x) \text{ then } \end{array}\right.$
86 $\left|\begin{array}{c} \text{if } f_{pp}(\mathbf{r}_x) \text{ then } \end{array}\right.$
87 $\left|\begin{array}{c} \text{if } f_{pp}(\mathbf{r}_x) \text{ then } \end{array}\right.$
88 $\left|\begin{array}{c} \text{if } f_{pp}(\mathbf{r}_x) \text{ then } \end{array}\right.$
89 $\left|\begin{array}{c} \text{if } f_{pp}(\mathbf{r}_x) \text{ then } \end{array}\right.$
90 $\left|\begin{array}{c} \text{if } f_{pp}(\mathbf{r}_x) \text{ then } \end{array}\right.$
91 $\left|\begin{array}{c} \text{if } f_{pp}(\mathbf{r}_x) \text{ then } \end{array}\right.$
92 $\left|\begin{array}{c} \text{if } f_{pp}(\mathbf{r}_x) \text{ then } \end{array}\right.$
93. $\left|\begin
## 主方向偏离地面参考系
$$ f_{pp}(\mathbf{r})=\left(\theta>\delta_{g}\right)\land\left(\left|\theta-90^{\circ}\right|>\delta_{g}\right)\land\left(\left|\theta-180^{\circ}\right|>\delta_{g}\right) $$
其中 $\theta = \arccos(\mathbf{R}_q[:,i] \cdot \hat{\mathbf{v}}_g)$ 表示地面法线 $\hat{\mathbf{v}}_g$ 与第 i 个非退化轴（$I_R[i] = 1$）之间的夹角，而 $\delta_g$ 为角度容差。此处，$\hat{\mathbf{R}}_q$ 代表二次曲面旋转参数，$I_R$ 为旋转退化指示符，二者均根据 $\mathbf{q}$ 在 $\mathbf{r}$ 中的参数按照公式(5)推导得出。该约束将细化阶段限定为仅使用由地面对齐结构提供的可靠旋转线索，从而有效剔除那些会产生不稳定方向约束的非对齐元素。
考虑退化情况的二次曲面残差：我们通过因子图来细化变换。对于匹配对 $(\mathbf{r}_x, \mathbf{r}_y)$ 及其估计值 $\mathbf{T}(\mathbf{R}, \mathbf{t})$，定义残差 $\mathbf{e} = [\mathbf{e}_{\mathbf{R}}, \mathbf{e}_{\mathbf{t}}]^{\mathrm{T}}$ 如下：
$$ \begin{bmatrix}\mathbf{e}_{\mathbf{R}}\\ \mathbf{e}_{\mathbf{t}}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\operatorname{diag}(\mathbf{I}_{\mathbf{R},y})(\mathbf{R}\hat{\mathbf{R}}_{q,x}\otimes\hat{\mathbf{R}}_{q,y})\\ \operatorname{diag}(\mathbf{I}_{\mathbf{t},y})\hat{\mathbf{R}}_{q,y}^{\mathrm{T}}(\mathbf{R}\mathbf{t}_{f,x}+\mathbf{t}-\mathbf{t}_{f,y})\end{bmatrix} $$
Fig. 7. Illustration of the unified quadric residual metric. The metric comprises translational (red lines) and rotational (green curves) components. Leveraging quadric degeneracy, translational residuals for central, linear, and planar quadrics are measured via point-to-point, point-to-line, and point-to-plane metrics, respectively. Supplementary points (grey dots) provide spatial leverage on noncentral shapes. Rotational residuals are evaluated only along nonsymmetric axes.
其中 $\otimes$ 表示按列进行的叉积运算。对角矩阵 $\text{diag}(\mathbf{I}_{\mathbf{R},y})$ 和 $\text{diag}(\mathbf{I}_{\mathbf{t},y})$ 起到几何投影算子的作用。具体而言，旋转项仅针对非退化方向惩罚主轴的不对齐情况（例如忽略绕平面法线的旋转），而平移项则将位移误差投影到有效的子空间上。如图7所示，这种处理方式形成了统一的公式，既能强制主轴对齐，又能在处理中心二次曲面时自然退化为点对点残差，在处理线性二次曲面时退化为点线残差，在处理平面二次曲面时退化为点面残差。
约束补充：公式(13)明确抑制了沿退化轴的误差分量，防止优化过程受到几何上无效方向的影响。然而，对于非中心二次曲面（如平面、直线和圆柱），仅在质心处应用此约束会引发条件数问题：1）平移约束的秩降低（例如平面仅为1个自由度），导致无法提供足够梯度以实现高效对齐；2）单点约束缺乏空间力臂，即便边界存在明显不对齐，当中心点重合时平移残差也会趋近于零。
为解决这一问题，如图7所示，我们针对非中心二次曲面在 $\mathbf{r}_x$ 中采样补充点，采样半径 $\sigma$ 取其非退化尺度的平均值。线性二次曲面（如直线和圆柱）则补充端点 $\mathbf{t}_f \pm \sigma \mathbf{v}_{dir}$，而平面二次曲面则使用四个外围顶点 $\mathbf{t}_f \pm \sigma \mathbf{u} \pm \sigma \mathbf{v}$，其中 $\mathbf{v}_{dir}$ 为主方向，$\mathbf{u}$ 和 $\mathbf{v}$ 构成正交基。这些补充点与目标 $\mathbf{r}_y$ 配对，并采用相同的残差公式(13)进行评估。这一策略引入了空间力臂，恢复了几何约束的秩，从而确保整个结构上的不对齐现象能被有效地惩罚，同时又不违反退化方向的合法性。
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TABLE III SUMMARY OF EXPERIMENTAL DATASETS
| Dataset | LiDAR-Beam | Points/Frame | Evaluation |
| Public | KITTI [^62] | Velodyne-64 | 120 K | LC, ODO |
| KITTI-360 [^63] | Velodyne-64 | 120 K | LC, ODO |
| Apollo [^64] | Velodyne-64 | 120 K | LC, ODO |
| Waymo [^65] | Spinning-64 $^{{*}}$ | 177 K | ODO |
| nuScenes [^66] | Velodyne-32 | 34 K | ODO |
| Self. | Hetero-Reg | Velodyne-16 | 30 K | SLAM, MM, CS |
| Livox Mid-360 | 20 K |
| Livox Avia | 24 K |
*: 旋转状态激光雷达（具体型号未公开）。
因子图优化：对于每个候选集合$\mathcal{I}_{k_g}^*$，我们构建一个因子图来聚合所有对应关系的残差。通过莱文伯格-马夸特算法最小化总平方误差，从而估算出最优变换参数。利用标准的李群代数扰动模型推导解析雅可比矩阵。对所有多级簇重复这一过程，便可得到一组变换候选解$\mathcal{T} = \{\mathbf{T}_1, \mathbf{T}_2, \ldots, \mathbf{T}_{K_q}\}$。
2) 最优变换选择：我们寻找能使$\mathbf{T}^* \in \mathcal{T}$与$\mathcal{R}_x$对齐的最优$\mathcal{R}_y$。方程(1)可重写为：
$$ \mathbf{T}^{*}=\underset{\mathbf{T}_{k_{g}}\in\mathcal{T}}{\arg\min}\frac{1}{|\mathcal{I}_{snn}|}\sum_{(\mathbf{r}_{x},\mathbf{r}_{y})\in\mathcal{I}_{snn}}\rho\left(\left\|\mathbf{e}_{\mathbf{R}}\right\|_{2}+\left\|\mathbf{e}_{\mathbf{t}}\right\|_{2}\right) $$
其中$\mathbf{e}_{\mathbf{R}}$和$\mathbf{e}_{t}$为残差分量(13)，$\mathcal{I}_{snn}$表示通过对每种语义类型执行最近邻搜索（SNN），在来自$f_{t}(\mathcal{R}_{x}|\mathbf{T}_{k_{g}})$到$\mathcal{R}_{y}$的全部中心点中建立的一一对应关系。具体而言，$f_{t}(\mathcal{R}_{x}|\mathbf{T}_{k_{g}}) = \{\mathbf{R}_{k_{g}} \mathbf{t}_{f,x} + \mathbf{t}_{k_{g}} | \mathbf{t}_{f,x} \in \mathbf{r}_{x}, \mathbf{r}_{x} \in \mathcal{R}_{x}\}$代表使用$\mathcal{R}_{x}$变换后的二次曲面中心点集合$\mathbf{T}_{k_{g}}$。我们还会过滤掉未对齐的结构，并采用补充约束来增强对非中心二次曲面的鲁棒性。
### V. 实验与分析
### A. 数据集
为了评估全局点云配准方法的性能，我们利用闭环（LC）和里程计（ODO）场景下部分重叠的点云进行实验。LC场景提供了更广泛的变换分布，而ODO场景则作为评估连续轨迹上配准鲁棒性的标准基准[^1]、[^5]、[^25]、[^41]、[^67]、[^68]。
如表III所总结，我们的评估采用了五个公开基准数据集和一个自行采集的数据集，涵盖六种不同类型的激光雷达传感器（如图8所示）。KITTI[^62]、KITTI-360[^63]和Apollo[^64]数据集作为大规模SLAM基准，提供了丰富的闭环候选样本。虽然Waymo[^65]和nuScenes[^66]通常由时长较短（约20秒）的序列组成，但其庞大的数据量足以支持在不同环境下的全面评估。具体而言，nuScenes的32线配置被用于评估算法在不同传感器分辨率下的泛化能力。此外，为了验证其在现实世界中的适用性，我们利用配备不同激光雷达的三种异构机器人平台建立了Hetero-Reg数据集。我们将QuadricsReg应用于该数据集以
Fig. 8. Point clouds dataset with differences in LiDAR sensors, spatial arrangement, density, and FOV. We select LiDAR sensors of spinning-state, semisolid-state, and solid-state types. (a) Velodyne-64. (b) Spinning-64. (c) Velodyne-32. (d) Velodyne-16. (e) Livox Mid-360. (f) Livox Avia.
评估其在闭环（SLAM）、多会话建图（MM）以及复杂场景（CSs）中的性能。该数据集包含六个序列，更多细节将在第V-H节中介绍。
1) 来自闭环场景的数据集：对于闭环场景，闭环对集合定义如下：
$$ \left\{(i,j)\mid d_{l c}^{\mathrm{m i n}}\leq\|\bar{\mathbf{t}}_{i}-\bar{\mathbf{t}}_{j}\|_{2}\leq d_{l c}^{\mathrm{m a x}},|i-j|\geq t_{l c},\forall i,j\in\mathbb{N}_{p}\right\} $$
其中$N_p$表示同一序列内点云的帧索引集合，$\bar{t}$表示点云的真实位置（GT）。$d_{lc}^{\min}$和$d_{lc}^{\max}$分别表示两帧之间允许的最小和最大距离，而$t_{lc}$是一个阈值，用于确保所选帧之间有足够的时间间隔以避免连续选取同一帧。由于配准难度会随着平移距离的增加而增大（因为重叠区域减少），我们将数据集划分为三个难度级别：简单（0–10米）、中等（10–20米）和困难（20–30米）。
我们利用序列00、02、05、06和08构建KITTI-LC，并采用SemanticKITTI中经过优化的真实姿态数据[^69]。同样，我们从KITTI-360中选出循环特征最丰富的五个序列（00、02、04、06、09），从Apollo中选出序列21、22、23、25、26，分别用于生成KITTI-360-LC和Apollo-LC。为确保评估的均衡性，我们采用均匀的空间采样方式，使所有数据集中每个难度级别保留约1000对样本。
2) 基于里程计的数据集：对于里程计场景，配准对的定义如下：
$$ \left\{\left(i,j\right)\mid j=\arg\min_{k}\left(\left|\left|\overline{\mathbf{t}}_{i}-\overline{\mathbf{t}}_{k}\right|\right|_{2}-d_{o d o}\right|),\forall i,j\in\mathbb{N}_{p}\right\} $$
其中$d_{odo}$表示两个点云之间的距离。我们将距离范围设定为1到10米，生成10个难度级别的配准数据集，用以分析视点变化对配准算法性能的影响。
在里程计测试阶段，我们在不同场景中为每个难度级别空间采样约500对样本，以验证算法的泛化能力。KITTI-ODO使用标准的测试序列08-10 [^41]。Apollo-ODO则由序列20–23和25–26构成。对于Waymo-ODO和nuScenes-ODO，我们从前100个序列中采样以获取环境多样性。需要注意的是，由于KITTI-360在激光雷达传感器及采集场景方面与KITTI相似，因此未被纳入里程计基准测试。最终形成的集合包括KITTI-ODO、Apollo-ODO、Waymo-ODO和nuScenes-ODO。
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TABLE IV SUMMARY OF EVALUATION PROTOCOL
| Experiment | Dataset | Sequence | Semantics |
| Public | Corr. Estab. | KITTI-LC | 00, 02, 05, 06, 08 | ✓ |
| Global Reg. | Loop | KITTI-LC | 00, 02, 05, 06, 08 | ✓ |
| KITTI-360-LC | 00, 02, 04, 06, 09 | ✓ |
| Apollo-LC | 21, 22, 23, 25, 26 | ✗ |
| Odometry | KITTI-ODO | 08, 09, 10 | ✓ |
| Apollo-ODO | 20-23, 25-26 | ✗ |
| Waymo-ODO | 00-99 | ✓ |
| nuScenes-ODO | 00-99 | ✓ |
| Trans. Est. | KITTI-LC | 00, 02, 05, 06, 08 | ✓ |
| Scene Rep. | KITTI-LC | 08 | ✓ |
| Self. | SLAM | Hetero-Reg | 1, 2, 3, 4 | ✗ |
| Multi. Mapping | Hetero-Reg | 1, 2, 3, 4 | ✗ |
| Chall. Scen. | Hetero-Reg | 5, 6 | ✗ |
前100个序列用于获取环境多样性。需要注意的是，由于KITTI-360在激光雷达传感器和采集场景方面与KITTI相似，因此它被排除在里程计基准测试之外。最终收集的数据集包括KITTI-ODO、Apollo-ODO、Waymo-ODO和nuScenes-ODO。
### B. 实验设置与评价指标
1) 实现细节：除非另有说明，我们在所有实验中均采用统一的一组默认参数。具体而言，用于二次曲面建模的地平面提取与聚类过程，采用TRAVEL [^58]和G3Reg [^5]提供的默认参数。对于能够可靠预测语义标签的数据集，我们使用PVKD [^59]来预测语义标签。QuadricsNet中用于选取拟合二次曲面的阈值$\delta_{p}$被设定为0.5，这一设置遵循[^13]中的网络配置。在最终的二次曲面表示$\mathcal{R}$中，每种语义类型会保留$K_{e} = 50$个二次曲面。若$\mathcal{R}$中的二次曲面总数少于$\delta_{a} = 60$，则每种语义类型中最大的$K_{a} = 10$个二次曲面会被下采样，采样体素大小设为$v_{a} = 0.5$，以此作为增广点。在对应关系建立阶段，每个二次曲面最多可建立$K_{s} = 20$个候选对应关系，同时利用阈值[0.2, 0.4, 0.6, 0.8]构建四级兼容性图。在变换估计过程中，基于阈值$\delta_{g} = 5^{\circ}$去除不规则结构。在最优变换选择环节，我们采用动态协方差缩放[^70]作为鲁棒核函数$\rho$。
所有实验均在一台配备Intel Xeon Platinum 8336 C CPU（主频2.30 GHz）、128 GB内存以及Nvidia RTX4090 GPU的工作站上开展。
2) 评估协议：表四总结了分配给各项评估任务的数据集、序列和语义策略。总体而言，我们的实验涵盖两个主要维度：在公共数据集上的标准化评估，以及在自行采集的异构数据集上的实际验证。在公共基准测试中，我们评估在对应关系建立、全局配准（包括闭环检测和里程计）、变换估计以及场景表示方面的基本性能。对于自行采集的Hetero-Reg数据集，评估范围还扩展到SLAM系统中的闭环检测、多会话建图，以及在几何稀疏且存在简并现象的复杂场景中的配准。在语义利用方面，我们采用了一种自适应策略：对于能够支持稳定预测的数据集（如KITTI、KITTI-360、Waymo、nuScenes），启用基于语义的四面体提取；而对于Apollo和Hetero-Reg数据集，系统则切换为纯几何聚类方式，以减少因标注缺失和显著领域差异导致的稳定性问题。
3) 评估指标：在对应关系建立评估中，我们使用对应点数量（Num.）、内点比率（IR）和对应点召回率（CR）作为指标。给定一对已建立对应关系的点云，集合I即为该对应关系的集合，Num.表示该集合的大小。IR的定义如下：
$$ \frac{1}{\mathrm{Num.}}\sum_{(i,j)\in\mathcal{I}}1\left(\left\|\bar{\mathbf{R}}\mathbf{t}_{x}+\bar{\mathbf{t}}-\mathbf{t}_{y}\right\|_{2}\leq0.5\mathrm{m}\right) $$
其中$\mathbb{1}(\cdot)$是指示函数，$(\mathbf{R}, \mathbf{t})$代表真实变换。所有数据集的真实变换均通过迭代最近点（ICP）算法进行优化。0.5米的阈值定义了残差容忍度，在此范围内对应的点被视为内点。如果内点总数达到或超过3个，则该对点云被视为匹配成功。基于这一标准，即可计算出数据集的CR值。
在变换估计方面，我们使用相对平移误差（RTE）和相对旋转误差（RRE）作为评价指标：
$$ \mathrm{RTE}=\left\|\bar{\mathbf{t}}-\mathbf{t}\right\|_{2},\mathrm{RRE}=\arccos\left[\frac{\mathrm{tr}\left(\mathbf{R}^{\mathrm{T}}\bar{\mathbf{R}}\right)-1}{2}\right]. $$
此外，我们采用配准成功率（SR）来评估全局配准效果。由于全局配准通常作为精细配准（如ICP）的初始阶段，因此估计结果必须落在收敛域内。如果$RTE \leq 2$米且$RRE \leq 5$，则认为配准成功。
最后，效率方面通过存储开销（场景表示中每帧的内存占用）和计算运行时间（每对点云的平均配准时间）来进行评估。
### C. 对应关系建立评估
在本节中，我们评估基于不同表示方法建立潜在对应关系的能力。我们将QuadricsReg与两类代表性基线进行比较：1）低层次方法：手工设计的FPFH [^40] 和基于学习的FCGF [^41]；2）高层次方法：基于语义的Segregator [^25] 和基于几何的G3Reg [^5]。对于QuadricsReg，我们采用固定的默认配置（$K_{s} = 20$）进行主要比较。此外，由于较大的上限$K_{s}$会产生更为保守的全对全匹配近似结果，我们也报告了$K_{s} = 15$和25条件下的结果，以评估我们基于四面体相似性的匹配策略的有效性。表五列出了KITTI-LC数据集上的实验结果。
总体而言，基于低层表示的方法由于特征更密集且采用一对一匹配策略，因此能够减少不匹配情况，进而实现相对较高的内点率。相比之下，高层表示由于特征稀疏，需要采用一对多匹配策略来维持足够数量的内点，所以内点率往往较低。不过，QuadricsReg在召回率和配准成功率方面表现更佳。
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TABLE V
EVALUATION OF CORRESPONDENCE ESTABLISHMENT ON KITTI-LC DATASET
| KITTI-LC | Level Metrics | Easy | Medium | Hard |
| Num. | IR $\uparrow$ | CR $\uparrow$ | SR $\uparrow$ | Num. | IR $\uparrow$ | CR $\uparrow$ | SR $\uparrow$ | Num. | IR $\uparrow$ | CR $\uparrow$ | SR $\uparrow$ | |
| Low. | FPFH [^40] | 707.20 | 9.15 | 100.00 | 99.38 | 633.12 | 2.55 | 95.60 | 82.37 | 595.63 | 0.89 | 66.20 | 45.17 |
| FCGF [^41] | 2483.55 | 17.70 | 80.89 | 73.74 | 1824.31 | 6.74 | 60.06 | 54.12 | 1568.15 | 2.30 | 43.55 | 39.09 |
| High. | Segregator [^25] | 351.98 | 14.52 | 98.64 | 91.61 | 235.56 | 6.18 | 86.13 | 80.71 | 187.19 | 2.92 | 55.84 | 54.11 |
| G3Reg [^5] | 1353.92 | 1.52 | 99.20 | 97.53 | 1326.64 | 0.76 | 94.80 | 90.60 | 1313.10 | 0.40 | 76.40 | 69.20 |
| QuadricsReg | 1456.42 | 2.05 | 100.00 | 98.77 | 1427.26 | 1.05 | 98.00 | 93.22 | 1395.62 | 0.60 | 85.60 | 80.00 |
| QuadricsReg-25 $^{{*}}$ | 1107.18 | 2.50 | 100.00 | 98.77 | 1082.75 | 1.26 | 97.40 | 92.91 | 1053.49 | 0.71 | 83.80 | 78.20 |
| QuadricsReg-25 $^{{*}}$ | 1787.60 | 1.75 | 99.88 | 98.64 | 1769.24 | 0.87 | 98.33 | 93.64 | 1741.44 | 0.50 | 88.43 | 81.42 |
（数值说明：对应点数量；IR：内点率（%）；CR：对应点召回率（%）；SR：配准成功率（%））。加粗表示最优结果，下划线表示次优结果。
*：QuadricsReg- $K_{s}$，其中 $K_{s}$ 表示每个二次曲面的初始对应点数量上限。
尽管内点率较低，但QuadricsReg在所有层级上均表现出色，这印证了基于多层兼容图的对应点异常值剔除机制的有效性。此外，QuadricsReg和Segregator的内点率均高于G3Reg，凸显了语义线索的优势。随着视点距离从简单层级过渡到困难层级，周围点的变化使得低层特征难以建立可靠的匹配关系，进而导致召回率和配准成功率下降。而利用元素级信息的高层表示对视点变化的鲁棒性更强，在中等和困难层级能保持较高的召回率和配准成功率。值得注意的是，QuadricsReg在困难层级的表现最佳，这得益于二次曲面的强大表达能力及其相似性度量机制的有效性。
如表V下方所示，增大 $K_{s}$ 会导致对应点数量显著增加，但内点率却会下降，而召回率和配准成功率的波动则很小。这表明我们基于二次曲面的匹配机制能够凭借相似性得分有效建立可靠的对应点，无需采用保守策略（即设置较大的 $K_{s}$）来保证高性能。
### D. 全局配准评估
1) 闭环检测测试：在本节中，我们将QuadricsReg与三类全局配准方法在闭环检测任务中展开对比。1) 基于低层表示的学习类方法：基于描述符的FCGF [^41]，以及端到端流程，包括DGR [^68]、PointDSC [^67] 和LCDNet [^71]。DGR和PointDSC主要侧重于匹配后的异常值剔除，而LCDNet则专门用于闭环检测与配准。2) 基于低层表示的手工设计类方法：鲁棒估计器，包括RANSAC、TEASER++ [^4]、Quatro [^72] 和3-DMAC [^46]。这些求解器作为后端，用于过滤异常值，并基于FPFH生成的初始对应点来估算位姿。3) 基于高层表示的方法：基于物体的Segregator [^25] 和基于椭球体的G3Reg [^5]。定量结果见表VI。
总体而言，基于学习的方法性能不如手工设计类和基于高层表示的方法。这主要是因为基于学习的方法是在涉及短距离或连续视点变化的配准数据集上训练的，而闭环场景中的平移和旋转变化更为多样。
在简单难度下，基于点的手工设计方法能够达到接近完美的100%成功率。随着视点距离的增加，尽管配准成功率会下降，但基于高层表征的方法相比基于点的学习方法和手工设计方法，性能衰退幅度通常更小。这是因为高层表征能够整合元素级的语义与几何信息，从而缓解在较大视点差异下的匹配难题。因此，这类基于高层表征的方法在复杂条件下能建立更稳定的对应关系，进而确保稳健的配准效果。在各类高层方法中，G3Reg和QuadricsReg的表现均优于Segregator，这体现了元素级几何匹配与多层次兼容性过滤的优势。QuadricsReg进一步利用语义和几何信息对场景进行分割和表征，并在匹配与变换估计过程中借助这种表征来实现更优的整体性能。我们发现，对于相距10米的点云对，它能持续达到近100%的配准成功率；在困难难度场景下，即便存在较大的视点差异，它仍能保持强劲的性能。如图9(a)–(d)所示，它使用不同的几何图元来建模不同语义元素，这不仅缩小了匹配搜索空间，还为后续匹配提供了可靠的几何相似性度量。在物体稀疏的环境中（如KITTI-LC序列02[见图9(b)]），QuadricsReg利用增广点[图9(b)中的红点]有效补偿因关键元素稀疏而导致的匹配数量减少问题。在KITTI-LC序列08和KITTI-360-LC中，大多数环路是反向的，相反方向会给物体几何属性的估计带来挑战，但QuadricsReg依然能保持鲁棒性。至于无法获得可靠语义预测的Apollo-LC数据集，我们的框架会自适应地将几何聚类类别用作替代标签。通过有效利用这些几何特征，QuadricsReg取得了可观的性能，从而证明了我们所用二次曲面表征的灵活性。
2) 含随机旋转的里程计测试：在本节中，我们评估里程计测试中的点云配准性能。原始里程计场景通常呈现以正向平移为主、旋转程度极小的狭窄姿态分布。如图10所示，原始数据集中的真实旋转值高度集中于零附近（$< 5^{\circ}$）。因此，该设定主要考察的是局部跟踪能力，而非全局配准性能。
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TABLE VI
GLOBAL REGISTRATION TEST FOR LOOP CLOSURE ON KITTI-LC; KITTI-360-LC AND APOLLO-LC DATASETS
| | Sequence | 00 | 02 | 05 | 06 | 08 |
| Level | Easy | Medium | Hard | Easy | Medium | Hard | Easy | Medium | Hard | Easy | Medium | Hard | Easy | Medium | Hard |
| KITTI-LC | Learning | FCGF [^41] | 89.50 | 67.50 | 48.00 | 62.50 | 49.00 | 32.50 | 82.95 | 69.85 | 51.00 | 93.50 | 49.50 | 37.00 | 2.24 | 0.61 | 0.00 |
| DGR [^68] | 83.00 | 61.50 | 40.50 | 62.50 | 50.50 | 33.00 | 78.75 | 66.83 | 47.00 | 96.90 | 49.50 | 25.50 | 2.99 | 1.23 | 0.00 |
| PointDSC [^67] | 79.50 | 61.00 | 45.00 | 53.48 | 46.46 | 37.50 | 77.27 | 62.81 | 49.00 | 89.92 | 49.00 | 36.14 | 2.24 | 0.00 | 0.00 |
| LCDNet [^71] | 95.00 | - | - | 68.60 | - | - | 95.45 | - | - | 100.00 | - | - | 88.81 | - | - |
| Handcraft | RANSAC | 99.50 | 74.50 | 27.50 | 98.83 | 70.20 | 32.00 | 98.86 | 78.89 | 35.50 | 100.00 | 96.50 | 80.50 | 100.00 | 93.82 | 50.81 |
| TEASER++ [^4] | 99.50 | 79.50 | 32.00 | 97.67 | 71.21 | 27.00 | 99.43 | 86.93 | 42.00 | 100.00 | 98.50 | 87.50 | 100.00 | 96.29 | 59.45 |
| Quatro [^72] | 98.50 | 91.00 | 51.00 | 100.00 | 74.74 | 39.00 | 100.00 | 92.96 | 50.00 | 100.00 | 98.50 | 85.00 | 99.25 | 95.06 | 63.78 |
| 3DMAC [^46] | 99.50 | 66.00 | 15.50 | 95.34 | 51.51 | 15.50 | 98.86 | 64.32 | 20.00 | 100.00 | 89.00 | 58.00 | 100.00 | 79.01 | 32.43 |
| High. | Segregator [^25] | 99.00 | 91.00 | 48.00 | 62.21 | 48.48 | 26.00 | 99.43 | 74.37 | 44.00 | 100.00 | 99.50 | 87.50 | 100.00 | 93.80 | 69.73 |
| G3Reg [^5] | 100.00 | 95.00 | 56.00 | 88.37 | 67.17 | 50.00 | 100.00 | 96.48 | 73.50 | 100.00 | 100.00 | 97.50 | 100.00 | 98.14 | 78.91 |
| QuadricsReg | 99.50 | 99.50 | 80.00 | 96.51 | 71.21 | 53.50 | 100.00 | 98.49 | 87.50 | 100.00 | 100.00 | 96.00 | 100.00 | 98.77 | 84.32 |
| KITTI-360-LC | Learning | Sequence | 00 | 02 | 04 | 06 | 09 |
| Level | Easy | Medium | Hard | Easy | Medium | Hard | Easy | Medium | Hard | Easy | Medium | Hard | Easy | Medium | Hard |
| FCGF [^41] | 38.50 | 29.00 | 25.50 | 21.00 | 18.00 | 16.50 | 14.00 | 8.00 | 10.00 | 41.00 | 35.00 | 24.50 | 56.00 | 47.50 | 31.00 |
| DGR [^68] | 39.00 | 26.50 | 22.00 | 20.50 | 16.00 | 14.00 | 16.00 | 9.00 | 6.50 | 40.00 | 34.00 | 20.50 | 56.00 | 42.00 | 23.00 |
| PointDSC [^67] | 37.20 | 26.50 | 21.00 | 18.50 | 16.50 | 16.00 | 14.50 | 9.50 | 8.00 | 38.50 | 35.00 | 27.00 | 54.00 | 42.50 | 28.50 |
| LCDNet [^71] | 92.00 | - | - | 89.00 | - | - | 94.50 | - | - | 96.00 | - | - | 94.00 | - | - |
| Handcraft | RANSAC | 99.50 | 89.50 | 49.00 | 99.00 | 87.00 | 55.00 | 97.50 | 77.00 | 32.50 | 97.00 | 71.00 | 34.50 | 98.00 | 78.00 | 35.50 |
| TEASER++ [^4] | 100.00 | 91.50 | 56.00 | 98.50 | 83.50 | 54.50 | 97.00 | 75.00 | 36.50 | 96.50 | 70.00 | 35.00 | 99.50 | 83.00 | 34.00 |
| Quatro [^72] | 100.00 | 93.50 | 66.00 | 97.50 | 81.00 | 59.50 | 99.00 | 86.50 | 49.00 | 97.00 | 76.00 | 41.00 | 99.50 | 89.50 | 50.00 |
| 3DMAC [^46] | 99.50 | 72.00 | 33.50 | 96.00 | 72.50 | 33.00 | 98.00 | 61.50 | 21.00 | 93.00 | 51.50 | 19.50 | 98.50 | 58.00 | 15.50 |
| High. | Segregator [^25] | 97.00 | 86.50 | 62.00 | 94.00 | 67.50 | 41.50 | 91.00 | 64.00 | 34.00 | 87.00 | 52.00 | 20.00 | 97.50 | 74.50 | 30.50 |
| G3Reg [^5] | 100.00 | 94.00 | 73.50 | 98.50 | 84.00 | 64.00 | 100.00 | 88.00 | 49.50 | 99.50 | 79.50 | 43.00 | 100.00 | 91.50 | 59.50 |
| QuadricsReg | 100.00 | 97.50 | 82.00 | 97.00 | 85.50 | 68.50 | 100.00 | 91.00 | 68.00 | 99.50 | 84.50 | 51.00 | 100.00 | 96.50 | 75.00 |
| Apollo-LC | Learning | Sequence | 21 | 22 | 23 | 25 | 26 |
| Level | Easy | Medium | Hard | Easy | Medium | Hard | Easy | Medium | Hard | Easy | Medium | Hard | Easy | Medium | Hard |
| FCGF [^41] | 85.50 | 74.50 | 61.50 | 100.00 | 4.50 | 4.00 | 92.50 | 90.00 | 77.50 | 93.75 | 4.00 | 5.50 | 66.50 | 65.00 | 50.50 |
| DGR [^68] | 82.50 | 71.50 | 41.00 | 93.10 | 7.50 | 4.00 | 89.00 | 84.00 | 45.00 | 93.75 | 5.50 | 4.00 | 65.00 | 63.50 | 44.00 |
| PointDSC [^67] | 78.50 | 63.50 | 36.50 | 100.00 | 4.00 | 4.00 | 89.00 | 77.50 | 49.50 | 75.00 | 4.00 | 5.00 | 67.00 | 65.00 | 45.00 |
| LCDNet [^71] | 79.00 | - | - | 89.66 | - | - | 77.00 | - | - | 93.75 | - | - | 92.00 | - | - |
| High. | RANSAC | 99.50 | 94.50 | 60.50 | 100.00 | 96.50 | 73.00 | 99.50 | 92.00 | 60.00 | 93.75 | 88.50 | 75.50 | 100.00 | 99.00 | 76.50 |
| TEASER++ [^4] | 100.00 | 93.00 | 70.50 | 100.00 | 96.00 | 81.50 | 100.00 | 97.00 | 72.00 | 100.00 | 92.00 | 85.00 | 100.00 | 98.50 | 80.50 |
| Quatro [^72] | 100.00 | 92.50 | 70.00 | 100.00 | 92.50 | 80.00 | 99.00 | 96.50 | 76.00 | 100.00 | 89.50 | 87.00 | 99.50 | 100.00 | 84.00 |
| 3DMAC [^46] | 98.50 | 82.50 | 32.50 | 96.55 | 83.00 | 50.50 | 99.50 | 81.50 | 38.50 | 93.75 | 76.50 | 60.50 | 100.00 | 93.50 | 55.00 |
| G3Reg [^5] | 100.00 | 100.00 | 97.50 | 100.00 | 99.50 | 96.50 | 100.00 | 100.00 | 96.50 | 100.00 | 90.50 | 86.50 | 100.00 | 100.00 | 97.00 |
| QuadricsReg | 100.00 | 100.00 | 98.00 | 100.00 | 99.00 | 98.00 | 100.00 | 99.00 | 98.50 | 100.00 | 88.00 | 87.50 | 100.00 | 100.00 | 97.00 |
（配准成功率(%)）；每个难度级别总共评估约1000对点云环路；加粗表示最佳结果，下划线表示次佳结果；“-”表示该方法的适用范围不适用于对应难度级别。
为消除这种偏差，我们通过引入范围在$[-45^{\circ}, 45^{\circ}]$内的随机偏航旋转来对点云进行扰动。这种扰动在保持原有平移多样性（1–10米）的同时，创造了均衡的旋转分布。我们将QuadricsReg与第V-D1节中详述的同类方法进行比较，这些方法分为基于学习的方法、手工设计的方法和高层方法。
如图11所示，基于学习的方法（如DGR、PointDSC、LCDNet）的性能会随着视点距离的增加而下降，唯有FCGF例外——它凭借RANSAC后端保持了鲁棒性。手工设计的方法（如RANSAC、TEASER++、Quatro、3-DMAC）在高分辨率数据集上表现良好，但在nuScenes数据集上却表现不佳，因为32线激光雷达产生的稀疏点云会阻碍FPFH匹配。基于高层表征的方法（如G3Reg、Segregator）在不同场景下的表现也不稳定。值得注意的是，QuadricsReg在所有数据集上的表现均优于其他方法。随着视点距离的增加，它的成功率依然保持稳定，这证明了QuadricsReg在里程计测试中的有效性。
此外，我们在图9(e)和(f)中展示了QuadricsReg在里程计测试中的定性配准性能。随机旋转会进一步影响场景中物体的几何属性，比如其朝向。里程计测试数据集涵盖了多种场景，包括物体稀疏的环境和无结构场景等极具挑战性的情况，这些对全局配准提出了严峻考验。尽管存在这些困难，QuadricsReg仍表现出强大的性能，这得益于它能够从点云中准确估计底层表面的几何属性，并能用二次曲面有效表示这些属性。此外，在采用32线激光雷达采集的nuScenes-ODO数据集上进行的实验，进一步验证了QuadricsReg对不同传感器导致的空间排列和点云密度变化的鲁棒性，如图9(f)所示。
### E. 变换估计评估
在本节中，我们将QuadricsReg与第V-D1节中详述的相同基线方法进行比较，以评估其变换估计性能。这些基线方法分为基于学习的、手工设计的和基于高层表征的三类。为了证明我们基于二次曲面的变换优化的有效性，我们还报告了未经过变换优化的QuadricsReg的结果。KITTI-LC数据集上的RRE和RTE结果如图12所示。总体而言，对于所有方法而言，变换误差会随着视点距离从易到难而增加。基于学习的方法在RRE和RTE上的误差方差最大。基于高层表征的方法相比使用低层表征的方法，通常能获得更低的旋转和平移误差。值得注意的是，QuadricsReg甚至在变换优化之前就取得了具有竞争力的性能，
---
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
Fig. 9. Global point cloud registration results across diverse datasets. (a) (a) KITTI: 20.48 m/55.63°. (b) KITTI: 23.27 m/9.67°. (c) KITTI-360: 25.59 m/112.18°. (d) Apollo: 28.26 m/177.81°. (e) Waymo: 6.15 m/22.84°. (f) nuScenes: 7.76 m/66.58°.
(a)
(b)
(c)
Fig. 10. Distributions of ground truth relative transformations in the KITTI-ODO dataset. (a)–(b) Raw data (red) is heavily concentrated on small rotational variations, with $\sim 85\%$ of rotations smaller than $5^\circ$; in contrast, applying random yaw perturbations in $[-45^\circ, 45^\circ]$ (green) results in a more uniform distribution. (c) Translation magnitude uniformly covers the 1–10 m range. (a) Yaw (deg). (b) Rotation (deg). (c) Translation (m).
这主要归功于其基于二次曲面的表示与匹配机制的有效性，该机制能够生成准确的对应点并给出精确的初始估计。引入变换优化后，误差进一步减小，超越了所有其他方法。这一结果不仅体现了优化过程的有效性，也证明了二次曲面对几何简并情况的鲁棒性。这归因于我们的残差计算策略：该策略严格在非简并属性上评估残差，从而提升了优化目标和选择准则的有效性。
### F. 场景表示评估
在本节中，我们评估场景表示的空间效率和计算效率，重点对比
(a)
(b)
(c)
(d)
Fig. 11. Evaluation of the global registration success rate in LiDAR odometry test on KITTI-ODO, Apollo-ODO, Waymo-ODO, and nuScenes-ODO datasets. (a) KITTI-ODO. (b) Apollo-SouthBay-ODO. (c) Waymo-ODO. (d) nuScenes-ODO.
(a)
(b)
Fig. 12. Evaluation of transformation estimation on KITTI-LC dataset. (a) Relative rotation error (RRE). (b) Relative translation error (RTE).
我们将我们高级的二次曲面基元与标准点表示进行对比。为了建立公平的效率基准，我们选择RANSAC和TEASER++作为代表性基线。由于它们被广泛认为是基于点的全局配准的标准方法，因此我们采用了它们的现成实现：Open3D库中的RANSAC模块[^73]以及官方发布的TEASER++。所有方法均在相同的计算环境下进行评估，以确保实验条件的一致性。我们在体素下采样率为0.3、0.5和0.7的条件下评估这些基线，以分析点密度的影响。对于QuadricsReg而言，除了默认版本外，我们还引入了一个快速变体，该变体具有较低的二次曲面密度（$K_e = 30$）以及更少的兼容图层级（阈值[0.2, 0.8]），旨在面向计算资源受限的平台或需要更快响应速度的应用场景。
图13展示了在KITTI-LC序列08的困难级别上的对比结果。在存储方面，基于二次曲面的表示方法相比基于点的表示方法显著减少了开销。在体素下采样率为0.5时，每次扫描数据（$\sim$ 29.5 KB）所占空间不到点云数据的三十分之一，这得益于利用向量化二次曲面高效编码关键结构。在运行时间方面，默认的QuadricsReg表现与基线方法相当（介于RANSAC-0.7和TEASER++-0.7之间）。
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Fig. 13. Efficiency evaluation of scene representation on the hard-level of the KITTI-LC sequence 08. Storage is measured by uniformly storing the representation data in text format.
TABLE VII
PERFORMANCE EVALUATION OF DIFFERENT CONFIGURATIONS ON THE HARD-LEVEL OF THE KITTI-LC SEQUENCE 08
| Runtime | Performance |
| Rep. | Mat. | Est. | Num. | IR $\uparrow$ | CR $\uparrow$ | SR $\uparrow$ | RTE $\downarrow$ | RRE $\downarrow$ |
| QuadricsReg | 0.33 | 0.17 | 0.33 | 1439.63 | 0.60 | 90.81 | 84.32 | 0.27 | 1.01 |
| QuadricsReg (fast) | 0.33 | 0.08 | 0.13 | 841.59 | 0.79 | 81.62 | 75.14 | 0.29 | 1.11 |
运行时间指标：rep.、mat.和est.分别表示场景表示、匹配以及变换估计所需的运行时间（秒）；性能指标：Num.表示对应点数量；IR表示内点比例（%）；CR表示对应点召回率（%）；SR表示配准成功率（%）；RTE表示相对平移误差（米）；RRE表示相对旋转误差（度）。
而快速变体的表现则优于TEASER++-0.7。我们在表VII中提供了运行时间和配准指标的详细分解。尽管场景表示的计算量较大，但它通常会在选定关键帧的里程计线程中独立执行。因此，后端（匹配与估计）能够达到约2 Hz（默认）和5 Hz（快速）的频率，两者均足以满足闭环检测的需求。
表VII进一步阐明了速度与精度之间的权衡关系。具体而言，严格的二次曲面筛选机制起到了去噪滤波器的作用，会优先保留突出的结构。这种策略通过去除不稳定的基元显著提升了IR值，但不可避免地会降低CR值，因为超出固定容量限制的有效物体会被排除在外。再加上由于剪枝层级减少而导致的较粗略的异常值剔除，使得在困难序列上的SR值出现适度下降。不过，这些结果表明，即便在具有挑战性的困难级别条件下（20–30米），快速变体仍能保持令人满意的配准成功率，尽管性能有所下滑，但它仍提供了一种可行的高速替代方案。
### G. 消融研究
本节通过针对场景表示、对应点建立以及变换估计的消融研究，来阐明QuadricsReg中关键模块的贡献并验证参数设置的合理性。KITTI-LC数据集上的结果如表VIII所示，最后一行代表了默认设置。
1) 场景表示的影响：关于场景表示的消融结果见第1–10行。将仅包含几何信息的版本（第1行）与默认版本（第24行）进行比较可以发现，融入语义信息后，在所有难度级别上都能获得更高的配准成功率，这是因为语义信息能够优化基元的选取。
Fig. 14. Localization and mapping results on the self-collected Hetero-Reg dataset with QuadricsReg as the loop closure module. (a) Session 1: 795 m. (b) Session 2: 962 m. (c) Session 3: 601 m. (d) Session 4: 459 m.
提取并减少不匹配现象。值得注意的是，表VI中对KITTI-LC结果的对比显示：仅基于几何的基线方法（第1行）性能优于所有竞争方法，排名仅次于我们提出的语义引导版本。关于拟合策略，若移除基于学习的部分（第2行）或基于统计的模块（第3行），性能都会下降。这证实了二者的互补性：前者能增强对噪声和部分数据的鲁棒性，后者则能确保在分布外情况下的几何有效性。我们还评估了二次曲面类型。省略中心二次曲面（第4行）会产生最显著的影响，因为它们提供了关键的三维约束；线性中心（第5行）和平面中心（第6行）二次曲面同样至关重要。缺少任何一类二次曲面都会导致场景表示不充分、配准效果差，尤其是在难度较高的场景中。值得注意的是，在点云稀疏或重复度高的环境（如KITTI-02）中，仅靠二次曲面抽象并不够，此时点云增强（第7行）便显得至关重要。最后，第8–10行表明，提高语义二次曲面的上限（$K_{e}$）能提升完整性，但可能会增加计算开销；最终选取$K_{e} = 50$作为最佳平衡点。
2) 对应关系建立的影响：匹配环节的消融实验结果见第11–17行。增大匹配候选边界$(K_s)$通常能增加潜在对应点的数量（见表V）。然而，将$K_s = 15, 25$（第11–12行）与默认的$(K_s = 20$（第24行）对比可知：边界过大虽能带来边际收益，却会大幅增加团搜索的计算成本。由于噪声水平各异，确定单一的一致性阈值十分困难。无论是严格（第13行）还是宽松（第14行）的单级图结构，都无法稳健地识别出内点；相比之下，我们的多级策略（第15–17行）通过整合不同尺度的约束来容忍观测误差。不过，阈值过于宽松（第17行，高达1.0）会扩大搜索空间，可能引入错误边。因此，为了兼顾效率与精度，我们采用了上限为0.8的四级层次结构。
---
TABLE VIII
ABLATION STUDY ON KITTI-LC DATASET (REGISTRATION SUCCESS RATE (%)); APPROXIMATELY 1000 PAIRS OF POINT CLOUDS ARE EVALUATED IN TOTAL PER DIFFICULTY LEVEL
| Sequence | 00 | 02 | 05 | 06 | 08 |
| Level | Easy | Medium | Hard | Easy | Medium | Hard | Easy | Medium | Hard | Easy | Medium | Hard | Easy | Medium | Hard |
| Scene Representation | (1) W/O semantics-aided | 100.00 | 96.50 | 59.00 | 95.93 | 73.73 | 51.50 | 100.00 | 95.48 | 71.50 | 100.00 | 99.50 | 98.50 | 100.00 | 98.77 | 80.00 |
| (2) W/O learning-based fit | 99.50 | 97.00 | 75.50 | 94.19 | 68.69 | 49.50 | 100.00 | 95.48 | 84.00 | 100.00 | 100.00 | 93.50 | 100.00 | 98.77 | 80.00 |
| (3) W/O statistics-based fit | 99.50 | 92.00 | 60.50 | 86.05 | 55.05 | 32.00 | 99.43 | 91.46 | 68.00 | 100.00 | 99.00 | 85.50 | 98.51 | 96.91 | 74.05 |
| (4) W/O central quadrics | 98.50 | 80.00 | 40.50 | 61.05 | 50.51 | 38.00 | 89.20 | 57.79 | 28.00 | 100.00 | 99.00 | 85.00 | 97.01 | 83.33 | 58.38 |
| (5) W/O linear-center quadrics | 99.50 | 95.50 | 55.00 | 92.44 | 56.57 | 30.50 | 100.00 | 95.48 | 76.00 | 100.00 | 100.00 | 96.00 | 100.00 | 95.06 | 67.57 |
| (6) W/O planar-center quadrics | 99.50 | 98.00 | 68.50 | 94.77 | 61.11 | 40.00 | 100.00 | 95.98 | 79.50 | 100.00 | 100.00 | 88.50 | 100.00 | 97.53 | 76.22 |
| (7) W/O augmented points | 99.50 | 98.00 | 71.00 | 86.63 | 66.67 | 50.50 | 100.00 | 98.49 | 84.50 | 100.00 | 100.00 | 95.00 | 100.00 | 98.77 | 83.24 |
| (8) $K_c = 30$ | 100.00 | 97.50 | 70.50 | 94.77 | 71.21 | 52.50 | 100.00 | 97.49 | 78.50 | 100.00 | 100.00 | 88.00 | 100.00 | 98.15 | 77.84 |
| (9) $K_c = 40$ | 99.50 | 98.00 | 72.50 | 94.77 | 71.21 | 52.50 | 100.00 | 97.49 | 80.00 | 100.00 | 100.00 | 93.50 | 100.00 | 98.77 | 80.00 |
| (10) $K_c = 60$ | 99.50 | 98.00 | 72.00 | 94.77 | 70.71 | 52.50 | 100.00 | 97.99 | 84.00 | 100.00 | 100.00 | 95.00 | 100.00 | 98.77 | 86.49 |
| Corr. Estab. | (11) $K_s = 15$ | 99.50 | 98.00 | 71.50 | 94.77 | 70.20 | 52.50 | 100.00 | 98.49 | 84.00 | 100.00 | 100.00 | 95.00 | 100.00 | 98.77 | 82.70 |
| (12) $K_s = 25$ | 100.00 | 99.00 | 84.00 | 93.60 | 72.21 | 53.00 | 100.00 | 96.98 | 88.00 | 100.00 | 100.00 | 98.00 | 100.00 | 100.00 | 86.49 |
| (13) $\delta_m : [0.2]$ | 99.50 | 91.00 | 47.00 | 87.79 | 60.10 | 34.00 | 100.00 | 91.46 | 56.50 | 100.00 | 99.00 | 82.00 | 99.25 | 94.44 | 65.41 |
| (14) $\delta_m : [0.8]$ | 99.00 | 97.50 | 61.50 | 94.19 | 70.71 | 49.50 | 100.00 | 95.48 | 77.50 | 100.00 | 100.00 | 88.50 | 100.00 | 98.77 | 78.91 |
| (15) $\delta_m : [0.2, 0.8]$ | 99.50 | 97.00 | 70.00 | 94.77 | 68.18 | 52.50 | 100.00 | 97.99 | 80.50 | 100.00 | 100.00 | 94.50 | 100.00 | 98.77 | 81.08 |
| (16) $\delta_m : [0.2, 0.6, 0.8]$ | 99.50 | 97.50 | 71.50 | 94.77 | 69.70 | 53.00 | 100.00 | 98.49 | 83.50 | 100.00 | 100.00 | 93.50 | 100.00 | 98.77 | 82.70 |
| (17) $\delta_m : [0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1.0]$ | 99.50 | 98.00 | 76.00 | 94.77 | 71.21 | 53.00 | 100.00 | 97.99 | 84.50 | 100.00 | 100.00 | 95.00 | 100.00 | 98.77 | 84.86 |
| Trans. Est. | (18) W/O ground-aligned filtering | 99.50 | 99.50 | 79.00 | 96.51 | 68.18 | 51.50 | 100.00 | 97.99 | 85.00 | 100.00 | 100.00 | 95.00 | 100.00 | 98.77 | 82.16 |
| (19) $e_{p2p}$ | 86.50 | 81.50 | 70.00 | 92.44 | 67.67 | 47.00 | 86.93 | 89.44 | 81.00 | 93.02 | 86.50 | 86.50 | 100.00 | 96.91 | 84.32 |
| (20) W/O $e_R$ | 99.50 | 98.00 | 71.50 | 95.35 | 70.71 | 52.50 | 100.00 | 98.49 | 84.00 | 100.00 | 100.00 | 95.00 | 100.00 | 98.77 | 83.24 |
| (21) W/O $e_t$ | 99.50 | 98.00 | 73.00 | 94.19 | 70.71 | 53.00 | 100.00 | 97.99 | 84.00 | 100.00 | 100.00 | 95.00 | 100.00 | 98.77 | 82.16 |
| (22) W/O supplementary points | 99.50 | 98.00 | 72.00 | 94.19 | 69.19 | 53.00 | 100.00 | 97.49 | 84.50 | 100.00 | 100.00 | 95.00 | 100.00 | 98.77 | 82.70 |
| (23) W/O trans. refinement | 99.50 | 98.00 | 72.00 | 93.60 | 69.70 | 52.50 | 100.00 | 97.99 | 85.00 | 100.00 | 100.00 | 94.50 | 100.00 | 98.77 | 82.16 |
| (24) Default | 99.50 | 99.50 | 80.00 | 96.51 | 71.21 | 53.50 | 100.00 | 98.49 | 87.50 | 100.00 | 100.00 | 96.00 | 100.00 | 98.77 | 84.32 |
粗体表示最优结果，下划线表示次优结果。
由于噪声水平各异，确定单一的一致性阈值十分困难。无论是严格（第13行）还是宽松（第14行）的单级图结构，都无法稳健地识别出内点。相比之下，我们的多级策略（第15–17行）通过整合不同尺度的约束来容忍观测误差。不过，阈值过于宽松（第17行，高达1.0）会扩大搜索空间，可能引入错误边。因此，为了兼顾效率与精度，我们采用了上限为0.8的四级层次结构。
3) 变换估计的影响：第18–23行的结果评估了变换估计的各个组件。地面对齐过滤（第18行）颇具益处，因为剔除未对齐的元素能确保优化过程依赖于可靠的旋转线索。若用标准的点对残差（$e_{p2p}$，第19行）替代我们提出的考虑退化情况的二次曲面度量指标，性能会显著下降。这证实了一点：点度量在应对退化基元（如沿平面滑动的情况）时表现不佳，而我们的度量指标能统一衡量点、线和平面上的差异。第20–21行表明，旋转（$e_R$）和平移（$e_L$）项对稳定性至关重要。此外，补充点（第22行）有助于缓解优化过程中因退化二次曲面带来的约束不足问题。最后，省略变换精细化步骤（第23行）会降低精度，尤其在难度较高的场景中。如图12所示，由粗到精的处理流程能在各个层级上持续减小误差。
### H. 实际应用
为了验证QuadricsReg在现实场景中的适用性，我们通过在校园内开展多次测绘任务来构建Hetero-Reg数据集。实验中使用了三种异构平台：搭载Velodyne-16激光雷达（以及用于提供地面真值的RTK设备）的无人地面车辆、搭载Livox Mid-360激光雷达的无人机，以及手持式Livox Avia激光雷达。该数据集包含两部分内容：首先，我们采集了四次大规模测绘任务（1–4，覆盖距离达$\sim$2.8公里），用于评估单会话下的SLAM回环闭合与多会话建图能力，如图14所示；其次，为了测试其在复杂环境下的鲁棒性，我们利用无人机在非结构化的森林环境和狭窄走廊环境中分别采集了两组特殊序列数据（5–6，每组覆盖距离均为$\sim$170米，详见图18）。
1) SLAM中的回环闭合：我们将QuadricsReg作为回环闭合模块集成到LIO-SAM [^16]中，以评估其在定位与建图方面的有效性。LIO-SAM采用半径搜索策略来识别重复访问的位置并生成回环候选。一旦检测到回环，QuadricsReg便会估算点云之间的变换关系，随后将回环闭合约束纳入位姿图中以进行进一步优化。不过，位姿估计的不准确性可能会给位姿图引入噪声，从而导致优化结果不佳。如图14所示，结果表明，引入QuadricsReg进行回环闭合后，轨迹能够从起点到终点正确对齐，有效消除了重复访问区域的地图不一致现象。尤其是，在第1和第2次任务中，LIO-SAM里程计产生的显著z轴漂移问题，通过在位姿图中应用QuadricsReg得到了成功修正。在第3和第4次任务中，由于距离较短，里程计产生的漂移现象并不明显，但重复访问区域仍存在地图不一致问题，而使用位姿图优化后这些问题也被消除。
为了定量评估QuadricsReg在真实SLAM应用中的回环闭合性能，我们以RTK提供的定位信息为依据，为第1和第2次任务生成搜索半径为5米的回环候选，并选取RANSAC和TEASER++作为对比算法。结果如图15所示：QuadricsReg在这两次任务中都取得了最高的成功率，即便在点云较为稀疏的情况下仍能展现出强大的性能。
此外，我们还测试了QuadricsReg在不同激光雷达传感器上的泛化能力，相关结果展示在
---
(a)
(b)
Fig. 15. Evaluation of loop closure on session 1 and session 2 of Hetero-Reg dataset. Black lines show trajectories, elevated for clarity. (a) Loop closure for Session 1. (b) Loop closure for Session 2. Subfigure (i) displays the full trajectory with blue lines marking GT loop frames. The remaining subfigures zoom in on loop regions, where green lines highlight successful closures by global registration and red lines denote failures.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Fig. 16. Real-world global registration results on point clouds scanned by different sensors. (a) Velodyne-16: 12.27 m/3.23°. (b) Livox Mid-360: 15.10 m/19.86°. (c) Livox Avia: 1.87 m/9.01°. (d) Livox Mid-360-Velodyne-16: 10.08 m/35.72°.
图16(a)–(c)中。QuadricsReg能够有效表征不同类型激光雷达获取的点云数据，兼顾空间排列、密度及视场角（FOV）的差异，同时建立精确的点云对应关系并实现稳健的配准。具体而言，Livox Avia激光雷达的视野较窄（水平视场角约为$70^{\circ}$），这给物体聚类带来了挑战，进而导致场景表征出现轻微误差。
(a)
Fig. 17. Multisession mapping on Hetero-Reg dataset. (a)-(f) Provide detailed views of the map. QuadricsReg is utilized for global registration within the same session for the same LiDAR and across sessions for different LiDARs.
尽管如此，QuadricsReg仍成功实现了精准的点云配准，充分体现了其后端匹配与变换估计模块的鲁棒性。
2) 多会话建图：我们将QuadricsReg应用于多会话建图，重点评估其在异构机器人平台和不同激光雷达传感器上的全局配准性能。图16(d)–(e)展示了相关结果，表明使用二次曲面表示场景能够有效缓解由不同激光雷达传感器导致的点云分布不一致所带来的配准难题。基于这些配准结果，我们开展了多会话建图实验，如图17所示。局部会话地图是通过LIOSAM构建的，其中集成了用于闭环检测的QuadricsReg。图17(a)–(f)展示了三个重叠区域的地图合并结果，证明尽管异构机器人平台的工作空间存在差异，但所生成的地图仍能实现有效对齐。因此，QuadricsReg能够为配备不同传感器的异构机器人平台上的地图合并任务提供可靠的变换参数，即便存在显著的视角差异和点云分布不一致的情况也是如此。在合并多个会话时，一旦检测到机器人轨迹之间的重叠区域，便会触发QuadricsReg；利用QuadricsReg估算出的变换参数会被纳入位姿图中以进行联合优化。最终，我们获得了由4个会话生成的大规模地图，该地图涵盖了不同类型的激光雷达传感器和异构机器人平台，充分展现了QuadricsReg在大规模场景全局配准方面的强大能力。
3) 复杂场景下的全局配准：最后，我们在两种具有挑战性的场景中评估了QuadricsReg的性能：无结构的森林环境和几何特征退化的走廊。按照第V-A2节中的设置，我们采用了带有随机旋转的里程计测试协议。我们设置了三个难度等级，对应的距离分别为1米、2米和3米，每个等级下分别采集140对、70对和45对样本。
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(a)
(b)
Fig. 18. Illustration of QuadricsReg in challenging scenarios. (a) Forest. (b) Corridor.
TABLE IX
GLOBAL REGISTRATION TEST IN CHALLENGING SCENES (REGISTRATION SUCCESS RATE (%))
| Sequence | 5 (Forest) | 6 (Corridor) |
| Level | 1 m | 2 m | 3 m | 1 m | 2 m | 3 m |
| Handcraft | RANSAC | 90.27 | 73.23 | 61.36 | 55.10 | 32.86 | 11.36 |
| TEASER++ [^4] | 83.33 | 70.42 | 50.00 | 41.49 | 27.14 | 9.09 |
| Quatro [^72] | 90.97 | 83.09 | 65.90 | 89.79 | 62.85 | 27.27 |
| 3DMAC [^46] | 84.72 | 56.33 | 45.45 | 45.57 | 25.71 | 13.64 |
| High | G3Reg [^5] | 95.23 | 90.14 | 79.54 | 26.53 | 11.43 | 2.27 |
| QuadricsReg | 98.61 | 92.96 | 82.22 | 64.63 | 34.29 | 13.64 |
加粗部分表示最佳结果，下划线部分表示次佳结果。
每对样本的真实变换参数是根据SLAM里程计数据得出，并经过ICP算法进一步优化。定性结果如图18所示，定量对比数据则列于表IX中。
结果表明，即使在森林这类几何特征稀疏的环境中，QuadricsReg也仅依靠树干、树冠和植被等几何结构（表示为独立的二次曲面基元）就能实现稳健的全局配准。其配准成功率始终高于基于点的方法以及基于高斯椭球模型的G3Reg。在走廊场景中，由于几何特征高度退化，性能会显著下降；基于高层表征的方法受影响尤为严重，因为缺乏独立的物体或结构导致特征对应关系不足，进而频繁出现配准失败的情况。QuadricsReg通过点云增强技术缓解了这一问题，从而取得了更好的性能。
### I. 讨论
1) 对表征偏差的鲁棒性：QuadricsReg通过紧凑且均匀地建模各类结构，在大规模场景中实现了出色的配准性能。不过，其几何抽象在无结构场景中可能会存在偏差，这会直接影响匹配质量。如图19所示，我们比较了QuadricsReg在结构化的KITTI-ODO数据集和自行采集的无结构森林数据集上，在1~3米距离间隔下的IR和SR指标。在无结构场景中，IR值相比……
1米时，IR：1.45%，SR：98.61%；2米时，IR：1.03%，SR：92.96%；3米时，IR：0.89%，SR：82.22%。
Fig. 19. Robust matching and registration under representational bias.
TABLE X
ROBUSTNESS ANALYSIS AGAINST SEMANTIC DETERIORATION (REGISTRATION SUCCESS RATE (%))
| Deterioration Ratio (%) | KITTI-LC | KITTI-360-LC |
| Easy | Medium | Hard | Easy | Medium | Hard |
| 0 | 99.20 | 93.59 | 80.26 | 99.30 | 91.00 | 68.90 |
| 10 | 98.60 | 92.81 | 79.56 | 99.00 | 89.67 | 64.33 |
| 30 | 98.02 | 92.73 | 75.85 | 98.58 | 88.33 | 61.25 |
| 50 | 97.44 | 92.12 | 73.12 | 98.17 | 85.58 | 55.75 |
结构化场景中的问题主要源于表征偏差削弱了基于相似性匹配的可区分性。不过，关键的内点得以有效保留。因此，由于采用了多级图剪枝策略，SR能够保持稳定；该策略通过最大化距离一致的子集来成功分离这些被保留的内点。由此可见，我们的框架对非结构化点云片段中不可避免的建模偏差具有足够的鲁棒性，从而确保基于二次曲面的表示方法即使在复杂环境中仍能保持有效性。
2) 对语义退化情况的鲁棒性：为了评估该方法对语义分割质量的适应能力，我们故意破坏预测的语义标签来进行压力测试。在默认配置下，关键物体的语义标签由PVKD预测得出。我们通过随机将一定比例预测出的标签标记为未标注，来模拟那些无法获得可靠或完整语义信息的棘手现实场景。如表X所示，我们报告了在KITTI-LC和KITTI-360-LC数据集上，标签缺失比例从0%到50%时的配准成功率。结果表明，虽然语义退化会导致性能下降，但这种影响主要体现在难度较高的场景（20–30米）中。值得注意的是，当标签缺失比例为10%时，QuadricsReg的性能下降幅度极小。即便在50%的标签被移除的严重退化情况下，我们的方法在简单（0–10米）和中等（10–20米）场景下仍保持着较高的成功率。这些发现证实，我们的框架并不严重依赖高精度的语义分割结果。我们能够有效利用平面、线条以及非结构化簇等关键结构，这些结构不依赖于预测的语义信息即可被提取出来，且具备足够的区分度来支持稳健的配准。此外，基于几何信息的匹配和图剪枝机制也能有效弥补语义线索不足的问题。
---
这种架构确保了即便在语义分割质量不佳的情况下，系统仍能保持稳定。
3) 局限性与未来工作：作为一款元素级配准框架，QuadricsReg的主要局限在于有效二次曲面的提取与匹配能力。仅依靠激光雷达提供的语义和几何线索进行二次曲面提取，在复杂场景中可能会受到限制，尤其是当重叠区域较小时，会导致二次曲面模型不一致，进而影响匹配精度。未来的工作将探索融合丰富的图像纹理以增强提取效果，同时研究语义与几何之间的合理整合方式以实现自适应二次曲面建模，这是提升匹配鲁棒性的关键一步。另外，在动态环境中，尽管运动物体可被建模为二次曲面，但它们之间的相对几何一致性会被破坏，从而在匹配图中产生噪声连接。因此，另一个研究方向是通过估计运动物体的运动状态来显式排除动态实体，进而维持动态场景中的配准稳定性。
### 六、结论
本文介绍了QuadricsReg，它利用语义二次曲面基元，通过简洁的数学公式来紧凑、清晰且具区分性地表示三维场景。这些优势被无缝融入匹配与变换估计的设计中，从而构建出高效且稳健的点云配准框架，并具备在大规模环境中良好扩展的能力。在五个公开数据集和一个自行采集的数据集上进行的大量实验表明，QuadricsReg能够以轻量化的方式在不同激光雷达传感器、机器人平台及场景下均取得出色的性能，可有效应用于实际的SLAM系统。此外，文中还探讨了该框架对表示偏差和语义退化问题的鲁棒性，并针对稳健的二次曲面提取、匹配以及动态实体过滤提出了未来改进方向。凭借其统一且轻量化的特性，该框架有望弥合异构三维传感器间的模态差异，提升协作机器人系统在实际应用中的可扩展性。
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吴季于2021年在中国无锡江南大学获得自动化专业学士学位。他目前正于中国武汉武汉大学计算机学院攻读计算机科学博士学位。
他的研究兴趣包括多机器人感知与具身智能。
余怀（IEEE会员）分别于2015年和2020年在中国武汉武汉大学获得通信与信息系统专业的学士及博士学位。
他于2018年至2020年担任卡内基梅隆大学机器人研究所的访问学者，2020年至2021年担任该所的博士后研究员。他目前担任武汉大学电子信息学院副教授。他的研究兴趣包括结构感知、三维重建以及SLAM。
SLAM。
余怀博士于2021年荣获《国际摄影测量与遥感学会杂志》最佳论文奖。他现任IEEE机器人与自动化学报编委会成员。
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韩舒目前正于中国武汉武汉大学计算机学院攻读软件工程专业的学士学位。
他的研究兴趣包括机器人感知、生成模型以及自动驾驶。
蔡希萌于2024年在中国武汉武汉大学计算机学院获得人工智能专业学士学位，目前他正在该校攻读人工智能专业硕士学位。
他的研究兴趣包括机器人感知与具身智能。
王明峰分别于2020年和2023年在中国成都西南财经大学以及中国武汉武汉大学获得计算机科学专业的学士及硕士学位。他目前正于武汉大学计算机学院攻读软件工程专业博士学位。
他的研究兴趣包括机器人感知与具身智能。
杨文（IEEE高级会员）分别于1998年、2001年及2004年在中国武汉武汉大学获得电子仪器与测绘技术专业学士学位、计算机应用技术专业硕士学位以及通信与信息系统专业博士学位。
2008年至2009年，他作为访问学者在法国格勒诺布尔的让·昆茨曼实验室Apprentissage et Interfaces (AI)团队工作。2010年至2013年，他在武汉大学信息工程、测绘与遥感国家重点实验室担任博士后研究员。此后，他一直担任武汉大学电子信息学院的全职教授。他的研究兴趣包括物体检测与识别、多传感器信息融合以及遥感技术。
夏桂松（IEEE高级会员）于2011年在法国巴黎的巴黎电信学院CNRS LTCI获得图像处理与计算机视觉专业的博士学位。
2011年至2012年，他在巴黎的巴黎-达索菲纳大学CNRS决策数学研究中心担任了一年半的博士后研究员。2018年，他作为访问学者在巴黎高等师范学院的DMA部门工作了两个月。他还曾担任慕尼黑工业大学Future Lab AI4EO的客座教授。目前，他担任武汉大学人工智能学院的全职教授。他当前的研究兴趣包括人工智能、机器人技术以及遥感技术。