Fig. 3 The results of the line extraction in one segment. The green lines represent the ground in the segment, and the numerals are the gradients and interceptions of the corresponding lines (a). The pentacles are the length-scales at the input locations, which are processed by an average filter $(a=1)$ (b)
每个网格单元中的种子数量不会过多。协方差函数的尺寸较小，可以大大提高计算效率。
新的种子评估对应于第10行的函数 eval。 方程 7 和 11 可用于计算 $K(r_*, r_*$ 和 $K(r_*, s_p)$，以供每个测试点 $(r_*, z_*$ 使用。） 然后，可以使用方程 10 来计算测试输入位置 $z_*$ 处的输出 $r_*$ 的均值和方差。 在本文中，采用 Douillard [^5] 提出的、用于评估输入点属性（新种子或异常值）的规则（见方程 13）。 参数 $t_{\text{model}}$ 是输出 $V[z]$ 的方差 $z_*$ 的阈值，而 $t_{\text{data}}$ 指定真实输出 $z_*$ 与测试输入 $\bar{z}$ 处预期均值 $r_*$ 之间的归一化距离。
$$ \begin{array}{r l}{V[z]\leq t_{\mathrm{m o d e l}}}&{\frac{|z_{*}-\bar{z}|}{\sqrt{\sigma_{n}^{2}+V[z]}}\leq t_{\mathrm{d a t a}}.}\end{array} $$
对于测试点 $(r_*, z_*)$，如果它同时满足方程 13 中的两个不等式，则将其分类为新种子；否则，将其分类为异常值。 从初始种子（第 5 行）开始，在每次迭代中累积种子，直到不再找到新的种子（第 6-11 行）。 图 4 显示了在图 10 中显示的场景的第一网格单元的迭代结果。
图 4：极坐标网格地图的横截面。 蓝色点是可能的地面点，红色圆圈表示每次迭代后的种子。 该点（位于右下角的五角星）是道路上的一根电线的反射，被分类为异常值。
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最终步骤是逐点分割，对应于第 13 行的函数 segment。 对于每个网格单元 i，可以使用找到的最终种子来对局部地面进行建模。 对于网格单元 i 中的第 j 个网格单元 $b_j^i$，$(r_j^{\min} + r_j^{\max})/2$ 用作网格单元 $b_j^i$ 的径向坐标。 因此，对于 $r_j^i = (r_j^{\min} + r_j^{\max})/2$，可以使用方程 10 来预测网格单元 $z_j^i$ 中地面高度 $b_j^i$ 的均值。 这意味着网格单元 $z_j^i$ 中的地面高度 $b_j^i$ 被定义为参考地面高度 $H_{ij}$。 对于集合 $p_k^i$ 中的每个点 $P_{b_j^i}' = \{p_k' = (r_k, z_k)| p_k \in P_{b_j^i}\}$，如果其相对高度 $|z_k - H_{ij}|$ 小于 $T_r$，则将 $p_k^i$ 分类为地面点；否则，将其分类为障碍物点。 由于集合 $P_{b_j^i}$ 和集合 $P_{b_j^i}'$ 之间的点对点映射是一对一的，因此 3D 点 $p_k$ 和 2D 点 $p_k^i$ 具有相同的标签。 现在，可以获得扫描中所有 3D 点的标签。
### 3.3 学习超参数
到目前为止，我们假设我们知道超参数 $\theta = \{\sigma_f, a, \sigma_n\}$ 来描述我们的方法。 然而，实际上，这些参数无法提前获得。 在本节中，我们将每个网格单元的回归任务表示为监督学习问题，并重点介绍如何学习这些参数。
给定训练集 $\mathfrak{I} = \{r^m, z^m\}_{m=1}^M$，每个网格单元都是以下形式的训练示例：$(r^m, z^m)$，其中每个 $r^m = \{r_1^m, \ldots, r_{n_m}^m\}$ 是一系列网格单元 m 中的径向坐标 $n_m$，每个 $z^m = \{z_1^m, \ldots, z_{n_m}^m\}$ 是一系列对应的地面高度，并且 $n_m$ 是网格单元 m 中的点的数量。 在本文中，我们假设这些示例是条件独立的，并尝试通过最大化伪对数似然函数 [^24] 来寻求这些超参数：
$$ \begin{align*}\sum_{m=1}^{M}\log p(z^{m}|r^{m},\theta)&=-\frac{1}{2}\sum_{m=1}^{M}(z^{m})^{T}K_{m}^{-1}z^{m}\\&\quad-\frac{1}{2}\log\left(\prod_{m=1}^{M}|K_{m}|\right)\\&\quad-\frac{\log2\pi}{2}\sum_{m=1}^{M}n_{m},\end{align*} $$
其中，$K_{m}$是用于噪声$z^{m}$值的协方差矩阵，该矩阵用于分割m，并且可以使用公式7进行计算。
为了通过最大化公式14来设置超参数，我们需要求解伪最大后验似然函数相对于超参数的一阶导数。 我们得到：
$$ \begin{align*}\frac{\partial}{\partial\theta_{i}}&\left(\sum_{m=1}^{M}\log p(z^{m}|r^{m},\theta)\right)\\&=\frac{1}{2}\sum_{m=1}^{M}tr\left(\left(\alpha_{m}\alpha_{m}^{T}-K_{m}^{-1}\right)\frac{\partial K_{m}}{\partial\theta_{i}}\right),\end{align*} $$
其中，$tr()$表示矩阵的迹，$\alpha_m = K_m^{-1} z_m$，以及$\frac{\partial K_m}{\partial \theta_i}$是一个矩阵，该矩阵包含逐元素的导数。 $\frac{\partial K_m}{\partial \theta_i}$的具体公式如下：
$$ \begin{aligned}\frac{\partial K_{m}(r_{i},r_{j})}{\partial\sigma_{f}}&=2\sigma_{f}\left(d_{i}^{2}\right)^{\frac{1}{4}}\left(d_{j}^{2}\right)^{\frac{1}{4}}\left(\frac{d_{i}^{2}+d_{j}^{2}}{2}\right)^{-\frac{1}{2}}\\&\quad\times\exp\left(-\frac{2(r_{i}-r_{j})^{2}}{a^{2}(d_{i}^{2}+d_{j}^{2})}\right)\end{aligned} $$
$$ \begin{align*}\frac{\partial K_{m}(r_{i},r_{j})}{\partial a}&=\sigma_{f}^{2}\big(d_{i}^{2}\big)^{\frac{1}{4}}\big(d_{j}^{2}\big)^{\frac{1}{4}}\left(\frac{d_{i}^{2}+d_{j}^{2}}{2}\right)^{-\frac{1}{2}}\\&\quad\times\exp\left(-\frac{2(r_{i}-r_{j})^{2}}{a^{2}\big(d_{i}^{2}+d_{j}^{2}\big)}\right)\\&\quad\times\left(\frac{4(r_{i}-r_{j})^{2}}{a^{3}\big(d_{i}^{2}+d_{j}^{2}\big)}\right)\end{align*} $$
$$ \frac{\partial K_{m}(r_{i},r_{j})}{\partial\sigma_{n}}=2\sigma_{n}\delta_{ij}, $$
其中，$d_i = \lg \left( \frac{1}{|g(r_i)|} \right)$。 可以采用基于梯度的优化器来解决此问题。
本文使用在美国波士顿城区采集的10幅已标注街景扫描数据[^16]和部分人工标注扫描数据学习超参数。每幅扫描被划分为180个分段。选取上坡路、下坡路、平路、颠簸路等典型分段构成训练集$\mathfrak{I}$。图5展示了训练集$\mathfrak{I}$中的9个典型分段。
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Fig. 5 9 typical segments chosen from the training set. The blue pluses are training points in the segments. The red lines represent the terrains in the segments with the learnt parameters $\sigma_{f}^{2}=0.0528$, $\sigma_{n}^{2}=0.0012$, a=6.2978)
### 3.4 基于地面的障碍点分割
在对扫描的所有点进行标记后，将诸如车辆、行人、道路上的树桩等障碍物以及悬垂结构（如树冠和电线）分类为障碍物，这些障碍物是自动驾驶车辆无法通过的。 这是一个典型的欠分割问题。 但是，使用本文的方法，可以轻松解决这个问题。 由于我们自动驾驶车辆的局部路径规划仅依赖于2.5维网格地图，因此我们将3维障碍点映射到极坐标网格地图，分辨率为0.2米（我们使用0.2米是因为我们自动驾驶车辆的轮胎宽度约为0.2米）。 使用符号$P_{ij}$来表示映射到网格单元$c_{ij}$的障碍点的集合。
$$ \begin{aligned}P_{ij}=\left\{p_{k}|i\leq\frac{x_{k}}{0.2} T$，则$z_m$中相对高度大于等于$P_{ij}$的点为悬伸点，其余点为真实障碍物点。阈值T根据我们ALV的高度选定，为$T = 1.8$ m。
## 4 实验评估和分析
实验评估的目标是展示第3.2节中提出的地面分割算法的实用性。 为了评估所提出的算法的实时性能和准确性，采用了其他两个在[^5] [^13]中提出的算法进行比较。 我们使用C++以及点云库（PCL）[^25]来实现它们，并在城市和乡村环境中进行了多次对比实验。 我们的实验平台是一个经过修改的
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Fig. 6 Our ALV used for the experiments in various environments. It is equipped with some cameras, lasers, and positioning sensor for perception
丰田 Land Cruiser，如 6 图所示，配备了 Velodyne HDL-64E S2、三个 SICK LMS 291 以及 NovAtel SPAN-CPT GPS 辅助惯性导航系统 (INS)。 Velodyne 激光扫描仪以 10 Hz 的速度旋转。因此，每次扫描最多包含 0.13 亿个点。同时，为了直观地评估其准确性，我们在提供的 [^16] 数据集中进行了定量性能评估。在所有实验中，我们使用具有 2.4 GHz 双核和 2 GB 内存的英特尔 P8600 CPU 的笔记本电脑。
我们的算法和[^13]中的算法都基于极坐标网格地图。在构建直径为100米的极坐标网格地图的过程中，我们设置了线段大小$M = 180$。每个线段被划分为160个bin，$N = 160$。为了简化计算，靠近激光雷达的bin的范围约为0.2米（沿径向方向），其他bin的范围约为0.5米（沿径向方向）。[^5]中的算法基于三维网格地图，而本文中的网格地图覆盖100米x100米的区域，水平分辨率为0.4米，垂直分辨率为0.2米。$^{1}$每个网格单元的内容是其中点的3D均值。为了提高计算效率，我们进行了数据压缩，通过保留每30个网格均值中的1个进行降采样。
### 4.1 运行时间
由于该算法应用于 ALV，因此我们关注的是地面分割算法的实时性能。我们已在线评估所提出的算法，用于在鄂尔多斯市自主驾驶时采集的许多扫描结果。路线位于复杂的郊区环境，包含一些上坡道路、下坡道路和平坦道路，如图 7 所示。[^5] 和 [^13] 中的算法也使用相同的扫描结果进行离线实现。图 8 显示了这些算法的结果。
大多数情况下，我们的算法平均每扫描 74.93 毫秒，能够实现实时性能。但是，在区间 A 中，每次扫描的运行时间都超过 100 毫秒。这是因为 ALV 位于一个大型开放区域（如图 7 所示），并且 ALV 右侧的地面是上坡。在极坐标网格地图的相应部分，迭代次数（算法 1 的第 6-11 行）会增加，从而导致时间增加。在 [^5] 算法中也出现了相同的现象。从图 8 可以看出，我们的算法比 [^13] 算法慢，平均每扫描 35.12 毫秒，但比 [^5] 算法快得多，平均每扫描 678.77 毫秒。即使如此，我们的算法仍然可以实现实时性能，因为扫描刷新率为 100 毫秒/次扫描。
### 4.2 准确性
[^16] 中提供的数据集包含在波士顿城市区域收集的十个标记的街景扫描。每个点都有一个标签，例如地面、汽车、房屋等。在本文中，我们仅关注两种类型的激光点：地面点和障碍物点。所有非地面点（属于汽车、房屋、人等的激光点）
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Fig. 7 The global planned map in the city of Ordos acquired from the position sensor (INS)
树木、路牌、栅栏和其他物体被归类到障碍物类别中。所有十次激光扫描都分别映射到直径为 100 米的极坐标网格地图以及覆盖 100 米 x 100 米面积的三维网格地图中。地面分割的结果见表 1。所有算法都能获得良好的性能。这是因为这些扫描是在地形非常平坦的城市街道上采集的（下一小节将展示一些地形崎岖的扫描）。我们的算法可以实现 0.9767 的准确率，比 [^13] 中的算法高 1.16%，但比 [^5] 中的算法低 0.17%。众所周知，对于自动引导车辆 (ALV) 来说，将非地面点错误地分类为地面点可能是一场灾难，因为这很容易导致与障碍物发生碰撞。从表 1 可以看到，我们的算法将最少的障碍物点错误地分类为地面点。因此，在一定程度上，我们的算法是三种算法中最安全的。
### 4.3 在各种环境中的分割
为了评估所提算法对我们ALV的实用性，我们利用从城市与乡村环境采集的多幅扫描数据对这些算法进行了对比。示例结果如图9、图10、图11和图12所示，这些图同时展示了采用各算法得到的地面分割结果和地面曲面。这些场景包含一条带有部分
Fig. 8 Runtime of our algorithm (blue) compared to that of [^13] (red) and [^5] (green) for 3200 scans acquired in the city of Ordos
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Table 1 Confusion matrix of the three algorithms
| True\nInferred | Our algorithm | Algorithm in [^5] | Algorithm in [^13] |
| Ground | Non-ground | Ground | Non-ground | Ground | Non-ground |
| Ground | 192251 | 8268 | 196060 | 2570 | 189780 | 10728 |
| Non-ground | 6822 | 439919 | 11479 | 440589 | 11844 | 434901 |
| Accuracy | 0.9767 | 0.9784 | 0.9651 |
在我们的实现中，算法中的参数设置为 $\sigma_n^2 = 0.0012$、$\sigma_f^2 = 0.0528$、$a = 6.2978$、$T_{model} = 0.04$、$T_{data} = 3$、$T_r = 0.3$。这些参数是通过最大化第 3.3 节中的伪对数边际似然值而获得的。
图 9–12 显示了所提出的地面分割算法在四个不同场景中的一些结果，与 [^13] 和 [^5] 中算法获得的结果进行比较。 每一张图包含两列：左列显示了我们算法、[^5] 算法和 [^13] 算法的分割结果，而另一列显示了使用相应算法获得的地表。 在图中左列，黄色、红色和绿色点分别代表地面、障碍物和悬垂结构。 由于本文中的算法和 [^13] 算法都基于已划分为许多部分的极坐标网格地图，因此我们只能在每个部分构建局部地面模型。 我们算法和 [^13] 算法获得的全局地面表面是由（所有）局部地面模型组合而成的。 $^{2}$
图 9 显示了一个高速公路场景，其中包含一辆汽车、一名自行车骑行者和一名行人。左侧的柱状图显示了算法的分割结果，而右侧的柱状图显示了使用相应算法获得的地面表面。我们的算法（如图 9a 所示）和 [^5] 中的算法（如图 9b 所示）可以获得良好的性能，而 [^13] 中的算法会将一些地面点（蓝色矩形中的红色点）错误地分类为障碍物（如图 9c 所示）。这是因为汽车遮挡了部分地面点，这违反了连续线之间的平滑过渡（在 [^13] 中，地面由每个线段中的线条表示）。使用 [^13] 算法获得的地面表面如图 9c 的右侧图像所示。红色矩形中的平坦地面表面被错误地分类为凸起，该凸起高于周围的地面表面。因此，红色矩形中的实际地面点被错误地分类为负障碍物。
图10展示了一处坡度为8.7%的校园场景。本文算法和[^5]中的算法都对坡度完成了准确分类，结果如左列所示，而[^13]中的算法无法做到这一点（对应图10c左图蓝色四边形内的红色和绿色点）。原因在于，这类陡坡的直线拟合均方根误差超过了预先设定的阈值。本文算法可以通过迭代将斜坡上的点累积为种子点，过程如图4所示。因此，每个分段内的局部地面都可以得到精准建模。[^5]中的算法也采用了类似的迭代流程。
尽管如此，本文算法与[^5]中的算法仍存在一些差异。对比图10a和图10b的地面分类结果可以发现，图10a中将A区域地面分类为平地，而图10b中将A区域分类为斜坡。主要原因是二者地面种子点的分布存在差异。在图10b左图对应的A区域（四边形A）中没有激光回波。本文算法将A区域划分为多个分段，并得到各分段内的局部地面模型。只有那些种子
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(a) The segmentation result (in the left image) and the ground surface (in the right image) obtained with our algorithm
(b) The segmentation result (in the left image) and the ground surface (in the right image) obtained with the algorithm in [^5]
(c) The segmentation result (in the left image) and the ground surface (in the right image) obtained with the algorithm in [^13]
Fig. 9 Our segmentation result in (a) of a highway scene, with a vehicle, a cyclist and a pedestrian, compared with the results of the algorithms in [^5] in (b), and [^13] in (c). In the left column of the figure, the ground points, obstacles, and
悬空结构分别被涂成黄色、红色和绿色像素。 右侧的列显示了使用相应算法获得的地面。 图 10、11、12 和 13 相同
被用作种子。 当使用 [^5] 中的算法计算全局地面模型时，可以利用位于平坦地面和斜坡上的种子（通过迭代过程找到的种子）来预测区域 A 中的地面。 地面高度的平均预测值（如公式 10 所示）是种子的高度的线性组合。 因此，我们的算法将区域 A 分类为平坦地面，而 [^5] 中的算法将其分类为斜坡。
图 11 显示了另一个带有 T 型路口的校园场景。 检测远距离路口对于局部路径规划非常重要。
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(a) The segmentation result (in the left image) and the ground surface (in the right image) obtained with our algorithm
(b) The segmentation result (in the left image) and the ground surface (in the right image) obtained with the algorithm in [^5]
(c) The segmentation result (in the left image) and the ground surface (in the right image) obtained with the algorithm in [^13]
Fig. 10 Our segmentation result in (a) of a campus scene with an 8.7 % slope, compared with the results of the algorithms in [^5] in (b), and [^13] in (c)
本文中的算法和 [^5] 可以获得良好的性能（如图 11a 和 b 所示）。这是因为这些算法的种子位于交汇点附近。但是，[^13] 中的算法将交汇点识别为障碍物，如图 11c 左侧图像中的蓝色矩形所示，这使得后续的交汇点检测变得不可能 [^2]。与 [^5] 中的算法的结果相比，我们的分割结果仍然存在一些缺陷。台阶被分类为地面，如图 11a 左侧图像中的蓝色多边形 B 所示。
我们的算法对缓慢上升的障碍物（例如台阶）不敏感。虽然每个台阶的高度通常小于 30 厘米，但它对城市环境中的 ALV 来说是一个障碍。
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(a) The segmentation result (in the left image) and the ground surface (in the right image) obtained with our algorithm
(b) The segmentation result (in the left image) and the ground surface (in the right image) obtained with the algorithm in [^5]
(c) The segmentation result (in the left image) and the ground surface (in the right image) obtained with the algorithm in [^13]
Fig. 11 Our segmentation result in (a) of a campus scene with a T-junction in front of the ALV, compared with the results of the algorithms in [^5] in (b), and [^13] in (c)
在包含台阶等障碍物的区域中，最小高度会逐渐增加。由于每个区域只有少数种子位于平坦的地面上，因此我们的算法可能会将台阶上的点通过迭代过程积累为种子。台阶将被错误地分类为地面。因此，该区域中的地面高度会增加（例如，如图 11a 右侧图像中的区域 B 所示）。[^5] 中的算法在这种情况下可以获得更好的结果。这是因为它使用了许多位于全局平坦地面上的种子点。台阶上的点很难通过迭代过程成为种子。
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(a) The segmentation result (in the left image) and the ground surface (in the right image) obtained with our algorithm
(b) The segmentation result (in the left image) and the ground surface (in the right image) obtained with the algorithm in [^5]
(c) The segmentation result (in the left image) and the ground surface (in the right image) obtained with the algorithm in [^13]
Fig. 12 Our segmentation result in (a) of the countryside scene with some road-blocks, compared with the results of the algorithms in [^5] in (b), and [^13] in (c)
[^5] 中的算法的迭代过程中。预测的地面，如图 11b 右侧图像所示，非常平坦，并且台阶被准确地分类为障碍物。
乡村场景如图 12 所示。在我们 ALV 前面有许多路障，这些路障被放置在平坦的地面上，形成道路的 curbs。所有三个算法都可以将路障与地面分开，因为它们都具有描述平坦道路的能力。但是，对于粗糙的道路，它们的性能有所不同。
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Fig. 13 Examples where the performances of our algorithm are poor. The left image shows a campus scene with a car, some persons, some trees and two stair steps (the bottom stair step is 0.15 meter high and the other is 0.2 meter) that are in Quad. C, our algorithm misclassifies the
stair steps as ground, but segments the car, persons, trees and overhanging structures accurately. In the right image, our ALV locates at the intersection of a trunk road and a countryside uphill road. The uphill road is misclassified as obstacles in Quad. D
[^13] 中的算法无法适应粗糙的道路，许多地面点被错误地分类为障碍物（即，如图 12c 左侧图像中的蓝色多边形中的红色点）。这是因为粗糙的地面表面会导致线拟合的均方误差增大。由于存在许多位于平坦地面上的种子点，[^5] 中的算法可以获得平坦的地面。它可以准确地检测到负向障碍物，同时会将缓慢上升的山坡错误地分类为障碍物（如图 12b 左侧图像中的蓝色矩形所示）。由于我们的算法对山坡不敏感，因此它可以将它们准确地分类为地面。
从图 9–12 的右侧列可以看出，[^5] 中由算法获得的地表是最平滑的，第二是我们的算法，最后是 [^13] 中的算法。在 [^5] 中，基于二维高斯过程回归的算法使用整个地图中的种子来建模全局地表，从而保持了整个地图中地表的连续性。我们的方法对每个段落都进行局部地表建模，只使用每个段落中的种子。然而，较少的种子使得我们的算法对阶梯和山坡不敏感，但较少的种子也使得我们的算法具有实时性能。我们的算法只能保持每个段落中的连续性，而不能保持相邻段落之间的连续性。[^13] 中的算法使用线拟合方法来对每个段落中的局部地表进行建模，只能保持每个段落中的相对连续性。同时，遮挡和崎岖的地形会极大地影响线拟合的结果。
图 13 提供了一些示例，说明了我们算法的局限性，以说明在哪些环境情况下我们的算法无效。在图 13 的左侧图像中，我们的算法会将阶梯错误地分类为地表（左侧图像中的 C 区域），因为我们的算法将极坐标网格地图划分为许多段落。每个段落只包含几个种子，这使得我们的算法对缓慢上升的障碍物不敏感，例如阶梯。我们的算法会将阶梯上的点累积为种子来建模局部地表，并错误地将阶梯分类为地表。我们算法的另一个缺点在图 13 的右侧图像中有所体现。我们的 ALV 位于主路和乡间丘陵道路的交叉口（坡度为 12%），并面向丘陵道路。如前所述，我们只选择传感器周围 30 米范围内绝对高度小于 0.3 米的点作为初始种子。但是，在这个场景中，坡度非常陡峭，因此没有初始种子，这使得我们的算法无法奏效。
虽然我们的算法可以进一步改进，但它已成功应用于我们的 ALV，该 ALV 在中国奥尔多斯举行的 2011 年中国未来挑战赛中获得了冠军，该挑战赛要求 ALV 完成避开静态障碍物、并入车辆、转弯等任务。通过本文中的算法
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以及 [^27] 中的路径规划算法，我们的 ALV 在 20 分钟内自主完成了奥尔多斯市的十公里路线，无需任何人工干预。
## 5 结论与未来工作
本文提出了一种用于 ALV 的新型实时地表分割算法，该算法结合了 [^5] 和 [^13] 中两种算法的优点。该算法将复杂的两维地表分割问题分解为许多一维回归问题，以提高计算效率，并保持每个段落中的地表连续性。与 [^13] 中的算法相比，它可以获得更好的精度，与 [^5] 中的算法相比，可以实现实时性能。我们的算法对于后续的实时目标分类和局部路径规划很有用。
未来，我们将研究如何基于本文中的算法，在相邻的图像块之间保持连续性。此外，在选择初始种子点时，我们将考虑每个点的法向量方向，因为在城市环境中，地面的法向量几乎向上。如果某个点的法向量不是向上的，则它将不会被选择为初始种子点。这种方法可以在一定程度上提高我们算法的准确性和鲁棒性。
致谢：本工作部分由中国国家自然科学基金资助，项目编号分别为61075043和61375050。感谢所有加入竞赛并与我们合作，共同赢得第三届中国未来挑战赛冠军的实验室成员。
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